Как решить следующие математические задачи:

1. Как вычислить: 4 в степени 5 / (х + 1) = (1 / 2) в степени 6 - 4х?
2. Как вычислить: (27 в степени 2/5 * 2 в степени 1/5 * 2) в степени 5/6?
3. Как решить неравенство: log 3 * (2x - 1) < 4?
4. Как найти sin x, если cos x = 0.6 и 0 < x < π/2?
5. Как вычислить: 2 sin π/4 + 3 tg 3π/4 - 4 cos π/3?
6. Как упростить: cos π/15 * cos 4π/15 - sin 4π/15 * sin π/15?

Пожалуйста, предоставьте подробное решение.

Математика 11 класс Алгебра и тригонометрия математика 11 класс решение математических задач вычисление степеней решение неравенств тригонометрические функции упрощение выражений Новый

Задача 1: Как вычислить: 4 в степени 5 / (х + 1) = (1 / 2) в степени 6 - 4х?

Для решения этого уравнения начнем с преобразования обеих сторон. Сначала упростим правую часть:

• (1 / 2) в степени 6 = 1 / (2 в степени 6) = 1 / 64.

Теперь у нас есть уравнение:

4 в степени 5 / (х + 1) = 1 / 64 - 4х.

Теперь преобразуем 4 в степени 5:

• 4 в степени 5 = (2 в степени 2) в степени 5 = 2 в степени 10.

Таким образом, уравнение становится:

2 в степени 10 / (х + 1) = 1 / 64 - 4х.

Теперь умножим обе стороны на (х + 1) и 64 для устранения дробей:

64 * 2 в степени 10 = (1 - 4х * (х + 1)) * 64.

После этого можно решить полученное уравнение относительно х.

Задача 2: Как вычислить: (27 в степени 2/5 * 2 в степени 1/5 * 2) в степени 5/6?

Сначала упростим выражение внутри скобок:

• 27 в степени 2/5 = (3 в степени 3) в степени 2/5 = 3 в степени (3 * 2/5) = 3 в степени 6/5.
• 2 в степени 1/5 * 2 = 2 в степени (1/5 + 1) = 2 в степени (1/5 + 5/5) = 2 в степени 6/5.

Теперь у нас есть:

(3 в степени 6/5 * 2 в степени 6/5) в степени 5/6.

Это можно записать как:

(3 * 2) в степени (6/5 * 5/6) = 6 в степени 1 = 6.

Задача 3: Как решить неравенство: log 3 * (2x - 1) < 4?

Сначала выразим неравенство:

log 3 * (2x - 1) < 4.

Теперь разделим обе стороны на log 3 (положительное число, поэтому знак неравенства не меняется):

2x - 1 < 4 / log 3.

Теперь добавим 1 к обеим сторонам:

2x < 4 / log 3 + 1.

И, наконец, разделим на 2:

x < (4 / log 3 + 1) / 2.

Задача 4: Как найти sin x, если cos x = 0.6 и 0 < x < π/2?

Используем основное тригонометрическое тождество:

sin^2 x + cos^2 x = 1.

Подставим известное значение:

• sin^2 x + (0.6)^2 = 1.
• sin^2 x + 0.36 = 1.
• sin^2 x = 1 - 0.36 = 0.64.

Теперь находим sin x:

sin x = √0.64 = 0.8 (так как 0 < x < π/2, sin x положителен).

Задача 5: Как вычислить: 2 sin π/4 + 3 tg 3π/4 - 4 cos π/3?

Сначала найдем значения тригонометрических функций:

• sin π/4 = √2 / 2.
• tg 3π/4 = -1 (так как tg = sin/cos, а cos 3π/4 = -√2 / 2).
• cos π/3 = 1/2.

Теперь подставим значения в выражение:

2 * (√2 / 2) + 3 * (-1) - 4 * (1/2).

Упростим:

• 2 * (√2 / 2) = √2.
• 3 * (-1) = -3.
• -4 * (1/2) = -2.

Таким образом, итоговое выражение будет:

√2 - 3 - 2 = √2 - 5.

Задача 6: Как упростить: cos π/15 * cos 4π/15 - sin 4π/15 * sin π/15?

Используем формулу косинуса разности:

cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b) = cos(a + b).

В нашем случае:

• a = π/15, b = 4π/15.

Тогда:

cos(π/15 + 4π/15) = cos(5π/15) = cos(π/3).

Зная, что cos(π/3) = 1/2, получаем:

Ответ: 1/2.