Для решения уравнения [x^3] - 3[x]^2 + 3[x] = {x} + 2 нам нужно учитывать, что [x] - это целая часть числа x, а {x} - это дробная часть числа x. Мы можем записать x в виде:

x = n + f,

где n = [x] - целая часть, а f = {x} - дробная часть, причем 0 <= f < 1.

Теперь подставим это выражение в уравнение:

[(n + f)^3] - 3[n]^2 + 3[n] = {n + f} + 2

Так как [n + f] = n (поскольку n - целое число), мы можем упростить левую часть уравнения:

[x^3] = [(n + f)^3] = [n^3 + 3n^2f + 3nf^2 + f^3]

Теперь, поскольку f - дробная часть, то [n^3 + 3n^2f + 3nf^2 + f^3] = n^3 (если 3n^2f + 3nf^2 + f^3 меньше 1).

Подставим это в уравнение:

n^3 - 3n^2 + 3n = f + 2

Теперь мы можем выразить f:

f = n^3 - 3n^2 + 3n - 2

Помимо этого, мы знаем, что 0 <= f < 1. Таким образом, у нас есть два неравенства:

• n^3 - 3n^2 + 3n - 2 >= 0
• n^3 - 3n^2 + 3n - 2 < 1

Теперь решим первое неравенство:

n^3 - 3n^2 + 3n - 2 >= 0

Найдем корни уравнения n^3 - 3n^2 + 3n - 2 = 0:

Пробуем подставить n = 2:

2^3 - 3*2^2 + 3*2 - 2 = 8 - 12 + 6 - 2 = 0

Таким образом, n = 2 является корнем. Теперь мы можем разложить многочлен:

(n - 2)(n^2 - n + 1) = 0

Дискриминант второго множителя (-1)^2 - 4*1*1 = -3 меньше нуля, значит, у него нет действительных корней. Таким образом, n^2 - n + 1 > 0 для всех n.

Следовательно, n^3 - 3n^2 + 3n - 2 >= 0 при n >= 2.

Теперь решим второе неравенство:

n^3 - 3n^2 + 3n - 2 < 1

Это можно записать как:

n^3 - 3n^2 + 3n - 3 < 0

Теперь найдем корни уравнения n^3 - 3n^2 + 3n - 3 = 0. Пробуем n = 3:

3^3 - 3*3^2 + 3*3 - 3 = 27 - 27 + 9 - 3 = 6 (положительное)

Пробуем n = 2:

2^3 - 3*2^2 + 3*2 - 3 = 8 - 12 + 6 - 3 = -1 (отрицательное)

Таким образом, у нас есть корень между 2 и 3. Мы можем использовать метод деления отрезков или численные методы для нахождения корня, но для простоты можно заметить, что это происходит примерно при n = 2.5.

Таким образом, мы можем заключить, что n = 2 подходит, и находим f:

f = 2^3 - 3*2^2 + 3*2 - 2 = 8 - 12 + 6 - 2 = 0

Итак, x = n + f = 2 + 0 = 2.

В итоге, решение уравнения [x^3] - 3[x]^2 + 3[x] = {x} + 2 является x = 2.