Чтобы решить выражение (2x^2 + 5x^3 + x^2 - 2x) : (x + 2), нам нужно выполнить деление многочлена на многочлен. В данном случае мы будем использовать метод деления столбиком. Давайте разберем это пошагово.

1. Упорядочим многочлен в порядке убывания степени:
   • Исходный многочлен: 5x^3 + 2x^2 + x^2 - 2x.
   • Объединим подобные члены: 5x^3 + 3x^2 - 2x.
2. Начнем деление:
   • Первый шаг: делим старший член делимого (5x^3) на старший член делителя (x). Получаем 5x^2.
   • Умножаем 5x^2 на (x + 2): 5x^2 * x + 5x^2 * 2 = 5x^3 + 10x^2.
   • Вычитаем полученное произведение из нашего многочлена:
   • (5x^3 + 3x^2 - 2x) - (5x^3 + 10x^2) = 3x^2 - 10x^2 - 2x = -7x^2 - 2x.
3. Продолжаем деление:
   • Делим -7x^2 на x: получаем -7x.
   • Умножаем -7x на (x + 2): -7x * x - 7x * 2 = -7x^2 - 14x.
   • Вычитаем:
   • (-7x^2 - 2x) - (-7x^2 - 14x) = -2x + 14x = 12x.
4. Последний шаг:
   • Теперь делим 12x на x: получаем 12.
   • Умножаем 12 на (x + 2): 12 * x + 12 * 2 = 12x + 24.
   • Вычитаем:
   • (12x) - (12x + 24) = -24.

Теперь мы можем записать результат деления:

Итак, (2x^2 + 5x^3 + x^2 - 2x) : (x + 2) = 5x^2 - 7x + 12 - 24 / (x + 2).

Таким образом, результатом деления является многочлен 5x^2 - 7x + 12 с остатком -24.