Для того чтобы вычислить производную функции f(x) = cos(2x)sin(x) + sin(2x)cos(x), мы будем использовать правило произведения и правило суммы производных.

Шаги решения:

1. Разделим функцию на два слагаемых:
• Первое слагаемое: u = cos(2x) и v = sin(x)
• Второе слагаемое: w = sin(2x) и z = cos(x)
2. Найдём производные каждого из этих множителей:
• Для первого слагаемого:
• Производная u = cos(2x) равна -2sin(2x) (по правилу цепочки).
• Производная v = sin(x) равна cos(x).
• Для второго слагаемого:
• Производная w = sin(2x) равна 2cos(2x) (по правилу цепочки).
• Производная z = cos(x) равна -sin(x).
3. Применим правило произведения:
• Производная первого слагаемого (u*v) будет равна:
• u'v + uv' = (-2sin(2x))sin(x) + cos(2x)cos(x)
• Производная второго слагаемого (w*z) будет равна:
• w'z + wz' = (2cos(2x))cos(x) + sin(2x)(-sin(x))
4. Теперь сложим все части:
• Производная функции f(x) будет равна:
• f'(x) = (-2sin(2x)sin(x) + cos(2x)cos(x)) + (2cos(2x)cos(x) - sin(2x)sin(x))
5. Упростим выражение:
• f'(x) = -2sin(2x)sin(x) + cos(2x)cos(x) + 2cos(2x)cos(x) - sin(2x)sin(x)
• f'(x) = -2sin(2x)sin(x) + 3cos(2x)cos(x) - sin(2x)sin(x)
• f'(x) = -3sin(2x)sin(x) + 3cos(2x)cos(x)

Таким образом, производная функции f(x) = cos(2x)sin(x) + sin(2x)cos(x) равна:

f'(x) = 3(cos(2x)cos(x) - sin(2x)sin(x)).