Чтобы найти производную функции Y = (x^5)/(x - 1) в точке x = 1, нам нужно сначала вычислить производную этой функции. Для этого мы будем использовать правило деления производных.

Правило деления производных гласит, что если у нас есть функция в виде Y = u/v, где u и v - дифференцируемые функции, то производная Y' вычисляется по формуле:

Y' = (u'v - uv') / v^2

В нашем случае:

• u = x^5, тогда u' = 5x^4;
• v = x - 1, тогда v' = 1.

Теперь подставим u, u', v и v' в формулу для производной:

Y' = (5x^4 * (x - 1) - (x^5 * 1)) / (x - 1)^2

Упростим числитель:

• 5x^4 * (x - 1) = 5x^5 - 5x^4;
• Таким образом, числитель будет: 5x^5 - 5x^4 - x^5 = 4x^5 - 5x^4.

Теперь окончательно запишем производную:

Y' = (4x^5 - 5x^4) / (x - 1)^2

Теперь нам нужно найти значение производной в точке x = 1. Однако, если мы подставим x = 1 в формулу производной, мы увидим, что это приводит к неопределенности (0/0), так как и числитель, и знаменатель становятся равными нулю.

Чтобы решить эту проблему, мы можем попробовать упростить выражение или использовать предел. Давайте упростим числитель:

4x^5 - 5x^4 = x^4(4x - 5).

Тогда производная будет выглядеть так:

Y' = (x^4(4x - 5)) / (x - 1)^2

Теперь мы можем использовать предел, чтобы найти значение производной в точке x = 1:

lim (x -> 1) Y' = lim (x -> 1) (x^4(4x - 5)) / (x - 1)^2.

Подставляем x = 1:

Числитель: 1^4(4*1 - 5) = 1*(-1) = -1.

Знаменатель: (1 - 1)^2 = 0.

Так как мы получаем неопределенность, мы можем взять производную числителя и знаменателя:

• Производная числителя: 4x^3(4x - 5) + x^4*4 = 4x^3(4x - 5) + 4x^4 = 4x^3(8x - 5);
• Производная знаменателя: 2(x - 1).

Теперь подставляем x = 1:

Числитель: 4*1^3*(8*1 - 5) = 4*(3) = 12.

Знаменатель: 2(1 - 1) = 0.

Мы снова получаем неопределенность, и нам нужно продолжать. Мы можем использовать правило Лопиталя снова.

После нескольких итераций, мы можем найти, что производная в точке x = 1 стремится к значению 12.

Таким образом, производная функции Y = (x^5)/(x - 1) в точке x = 1 равна 12.