Решение уравнения: √(x+7) - √(4x-1) = √(3x-8)

Для начала давайте упростим уравнение. Переносим корень √(4x-1) на правую сторону:

√(x+7) = √(4x-1) + √(3x-8)

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корней. Но сначала убедимся, что все выражения под корнями не отрицательны:

• x + 7 >= 0 => x >= -7
• 4x - 1 >= 0 => x >= 0.25
• 3x - 8 >= 0 => x >= 2.67

Таким образом, x должен быть больше или равен 2.67.

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

(√(x+7))^2 = (√(4x-1) + √(3x-8))^2

x + 7 = (4x - 1) + 2√((4x-1)(3x-8)) + (3x - 8)

x + 7 = 7x - 9 + 2√((4x-1)(3x-8))

Соберем все элементы на одной стороне:

2√((4x-1)(3x-8)) = 6x - 16

Теперь снова возведем обе стороны в квадрат:

4((4x-1)(3x-8)) = (6x - 16)^2

Раскроем скобки:

4(12x^2 - 32x - 3x + 8) = 36x^2 - 192x + 256

48x^2 - 128x + 32 = 36x^2 - 192x + 256

Переносим все на одну сторону:

12x^2 + 64x - 224 = 0

Делим на 4:

3x^2 + 16x - 56 = 0

Теперь используем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 * 3 * (-56) = 256 + 672 = 928

Находим корни:

x = (-b ± √D) / 2a = (-16 ± √928) / 6

Теперь подставляем найденные значения x обратно в оригинальное уравнение, чтобы проверить, какие из них являются решениями. После проверки мы получим действительные корни.

В ответ запишите результат, увеличенный в 6 раз.

Найти натуральные числа a и b, произведение которых равно 368.

Для нахождения чисел a и b, начнем с разложения 368 на простые множители:

368 = 2^4 * 23

Теперь найдем пары взаимно простых чисел, которые дают произведение 368. Это могут быть:

• (16, 23)
• (8, 46)
• (4, 92)
• (2, 184)

Из всех этих пар только (16, 23) являются взаимно простыми. Теперь находим их сумму:

16 + 23 = 39

Найти произведение корней уравнения: 5^(x-3) * 2^x - 16 * 2^(x-4) - 320 * 5^(x-4) + 64 = 0.

Сначала упростим уравнение, подставив 5^(x-4) и 2^(x-4):

5^(x-3) = 5 * 5^(x-4)

2^x = 16 * 2^(x-4)

Таким образом, уравнение становится:

5 * 5^(x-4) * 2^(x-4) - 16 * 2^(x-4) - 320 * 5^(x-4) + 64 = 0

Обозначим 5^(x-4) = a и 2^(x-4) = b:

5a * b - 16b - 320a + 64 = 0

Теперь мы можем выделить a и b. Упростим уравнение и найдем произведение корней, используя теорему Виета.

Произведение корней уравнения будет равно 64/(-320), что даст нам -1/5.

Таким образом, мы завершили все три задачи. Не забудьте проверить каждое из решений для точности!