ПОЖАЛУЙСТА СРОЧНО

Как вычислить площадь области, заключенной между кривой y=lnx, вертикальной линией x=e и осью y (y=0)?

Математика 11 класс Интегралы и площади фигур площадь области кривая y=lnx вертикальная линия x=e ось Y интеграл математический анализ вычисление площади области между кривыми график функции методы интегрирования Новый

Чтобы вычислить площадь области, заключенной между кривой y=ln(x), вертикальной линией x=e и осью y (y=0), следуем следующим шагам:

1. Определим границы интегрирования:
   • Кривая y=ln(x) пересекает ось y, когда x=1 (так как ln(1)=0).
   • Вертикальная линия x=e ограничивает область справа.
2. Запишем определенный интеграл:
   • Площадь области S можно найти, используя интеграл от функции y=ln(x) от x=1 до x=e:
   • Формула для площади: S = ∫[1, e] ln(x) dx.
3. Вычислим интеграл:
   • Для интегрирования функции ln(x) используем метод интегрирования по частям:
   • Пусть u = ln(x), dv = dx.
   • Тогда du = (1/x)dx, v = x.
   • По формуле интегрирования по частям: ∫u dv = uv - ∫v du.
   • Таким образом, получаем:
   • ∫ln(x) dx = x*ln(x) - ∫(x*(1/x))dx = x*ln(x) - ∫dx = x*ln(x) - x + C.
4. Подставим пределы интегрирования:
   • Теперь подставим пределы от 1 до e:
   • S = [x*ln(x) - x] от 1 до e.
   • Вычисляем S:
   • Подставляем x=e: S(e) = e*ln(e) - e = e*1 - e = e - e = 0.
   • Подставляем x=1: S(1) = 1*ln(1) - 1 = 1*0 - 1 = -1.
   • Теперь находим площадь: S = S(e) - S(1) = 0 - (-1) = 1.

Ответ: Площадь области, заключенной между кривой y=ln(x), вертикальной линией x=e и осью y, равна 1.