При каком значении параметра a множество решений неравенства (x-2)(x-4)(x-a) > 0 образует один промежуток? Если таких значений несколько, укажите их сумму.

Математика 11 класс Неравенства с параметрами неравенство параметры множество решений промежуток математика 11 класс Новый

Для того чтобы решить неравенство (x-2)(x-4)(x-a) > 0, нам нужно сначала определить корни данного произведения. Корни этого произведения — это точки, в которых каждая из скобок равна нулю. Это значит, что:

• x = 2,
• x = 4,
• x = a.

Теперь у нас есть три корня: 2, 4 и a. Чтобы множество решений неравенства образовало один промежуток, все три корня должны находиться в одной из двух ситуаций:

1. Все корни расположены по одну сторону от другого, например: a < 2 или a > 4.
2. Корни 2 и 4 совпадают с корнем a, то есть a = 2 или a = 4.

Рассмотрим каждую ситуацию более подробно:

1. Все корни по одну сторону:

Если a < 2, то у нас будет корень 2, корень 4 и корень a (который меньше 2). Таким образом, все корни находятся левее 2, и неравенство будет положительным на всей правой стороне от 2.

Если a > 4, то корни 2 и 4 находятся слева от a, и неравенство будет положительным на всей левой стороне от 4.

2. Совпадение корней:

Если a = 2, то у нас будет два одинаковых корня (2 и 2), и третий корень 4. В этом случае неравенство (x-2)^2(x-4) > 0 будет положительным на промежутке (2, 4).

Если a = 4, то у нас будет два одинаковых корня (4 и 4) и корень 2. Здесь неравенство (x-2)(x-4)^2 > 0 будет положительным на промежутке (2, 4).

Таким образом, значения a, при которых множество решений неравенства образует один промежуток, это:

• a < 2,
• a > 4,
• a = 2,
• a = 4.

Теперь найдем сумму всех значений, при которых неравенство образует один промежуток:

• Для a < 2: неограниченное множество, поэтому не учитываем.
• Для a > 4: также неограниченное множество, не учитываем.
• Для a = 2: 2.
• Для a = 4: 4.

Сумма конечных значений: 2 + 4 = 6.

Ответ: 6.