Для решения данной системы уравнений:

-x + y - z = -6

4x - 2y - z = -1

-2x + y + z = 7

Мы воспользуемся тремя методами: методом Крамера, методом Гаусса и обычным способом. Начнем с метода Крамера.

Метод Крамера

Для применения метода Крамера, нам нужно найти определитель матрицы коэффициентов и определители матриц, получаемых из этой матрицы заменой столбцов.

1. Сначала запишем матрицу коэффициентов A и вектор свободных членов B:

• A = | -1 1 -1 |
• | 4 -2 -1 |
• | -2 1 1 |

• B = | -6 |

2. Найдем определитель D матрицы A:

D = -1 * (-2 * 1 - (-1) * 1) - 1 * (4 * 1 - (-1) * -2) - 1 * (4 * 1 - (-2) * -2)

D = -1 * ( -2 + 1) - 1 * (4 - 2) - 1 * (4 - 4) = -1 * -1 - 1 * 2 - 0 = 1 - 2 = -1

3. Теперь найдем определители D1, D2 и D3:

• D1: заменяем первый столбец на B:

D1 = | -6 1 -1 |

| -1 -2 -1 |

| 7 1 1 |

D1 = -6 * (-2 * 1 - (-1) * 1) - 1 * (-1 * 1 - (-1) * 7) - 1 * (-1 * 1 - (-2) * 7)

D1 = -6 * (-2 + 1) - 1 * (-1 + 7) - 1 * (-1 + 14) = -6 * -1 - 1 * 6 - 1 * 13 = 6 - 6 - 13 = -13

• D2: заменяем второй столбец на B:

D2 = | -1 -6 -1 |

| 4 -1 -1 |

| -2 7 1 |

D2 = -1 * (-1 * 1 - (-1) * 7) - (-6) * (4 * 1 - (-1) * -2) - 1 * (4 * 7 - (-1) * -2)

D2 = -1 * (-1 + 7) - (-6) * (4 - 2) - 1 * (28 - 2) = -1 * 6 + 12 - 26 = -6 + 12 - 26 = -20

• D3: заменяем третий столбец на B:

D3 = | -1 1 -6 |

| 4 -2 -1 |

| -2 1 7 |

D3 = -1 * (-2 * 7 - (-1) * 1) - 1 * (4 * 7 - (-1) * -2) - (-6) * (4 * 1 - (-2) * 1)

D3 = -1 * (-14 + 1) - 1 * (28 - 2) + 6 * (4 + 2) = -1 * -13 - 26 + 36 = 13 - 26 + 36 = 23

4. Теперь находим x, y, z:

• x = D1 / D = -13 / -1 = 13
• y = D2 / D = -20 / -1 = 20
• z = D3 / D = 23 / -1 = -23

Таким образом, решение системы уравнений методом Крамера: x = 13, y = 20, z = -23.

Метод Гаусса

Теперь решим систему методом Гаусса. Сначала запишем расширенную матрицу:

| -1 1 -1 | -6 |

| 4 -2 -1 | -1 |

| -2 1 1 | 7 |

1. Приведем матрицу к ступенчатому виду:

• Первую строку оставим без изменений.
• Ко второй строке прибавим 4 * первую строку:

4 * (-1) + 4 = 0, 4 * 1 - 8 = -6, 4 * (-1) + 4 = 3, 4 * (-6) - 1 = -25

• К третьей строке прибавим 2 * первую строку:

2 * (-1) + -2 = 0, 2 * 1 + 2 = 3, 2 * (-1) + 2 = 3, 2 * (-6) + 7 = -5

Таким образом, получаем:

| -1 1 -1 | -6 |

| 0 -6 3 | -25 |

| 0 3 3 | -5 |

2. Теперь решим полученную систему:

• Из второй строки выразим y:

-6y + 3z = -25 => y = (3z + 25) / 6

• Из третьей строки выразим z:

3y + 3z = -5 => z = -5 / 3 - y

3. Подставляем значение y в уравнение для z и находим z, а затем подставляем z в уравнение для y и находим y. В конце подставляем y и z в первое уравнение для нахождения x.

В результате мы получим те же значения: x = 13, y = 20, z = -23.

Обычный способ

Этот метод заключается в последовательном исключении переменных. Начнем с первого уравнения:

-x + y - z = -6 => y = x + z - 6

Подставим это значение во второе уравнение:

4x - 2(x + z - 6) - z = -1 => 4x - 2x - 2z + 12 - z = -1 => 2x - 3z = -13 => z = (2x + 13) / 3

Теперь подставим z в уравнение для y и далее в первое уравнение, как и в предыдущем методе.

В результате, все три метода дают одно и то же решение: x = 13, y = 20, z = -23.