Давайте решим данную систему линейных уравнений, используя три разных метода: метод Крамера, метод Гаусса и матричный метод.

• 2x - y - z = 4
• 3x + 4y - 2z = 11
• 3x - 2y - 4z = 11

Метод Крамера

Для применения метода Крамера, сначала найдем определитель матрицы коэффициентов системы.

Матрица коэффициентов A:

• 2 -1 -1
• 3 4 -2
• 3 -2 -4

Определитель D:

D = 2(4 * -4 - (-2) * -2) - (-1)(3 * -4 - (-2) * 3) - 1(3 * -2 - 4 * 3)

D = 2(-16 - 4) + 1(-12 + 6) - 1(-6 - 12)

D = 2(-20) + 1(-6) + 1(18)

D = -40 - 6 + 18 = -28

Теперь найдем определители D_x, D_y и D_z, заменяя соответствующие столбцы матрицы коэффициентов на столбец свободных членов:

Определитель D_x:

D_x = |4 -1 -1|

|11 4 -2|

|11 -2 -4|

D_x = 4(4 * -4 - (-2) * -2) - (-1)(11 * -4 - (-2) * 11) - 1(11 * -2 - 4 * 11)

D_x = 4(-16 - 4) + 1(44 - 22) - 1(-22 - 44)

D_x = 4(-20) + 1(22) + 1(66)

D_x = -80 + 22 + 66 = 8

Определитель D_y:

D_y = |2 4 -1|

|3 11 -2|

|3 11 -4|

D_y = 2(11 * -4 - (-2) * 11) - 4(3 * -4 - (-2) * 3) - (-1)(3 * 11 - 11 * 3)

D_y = 2(-44 + 22) - 4(-12 + 6) + 0

D_y = 2(-22) + 4(6)

D_y = -44 + 24 = -20

Определитель D_z:

D_z = |2 -1 4|

|3 -2 11|

|3 -4 11|

D_z = 2(-2 * 11 - (-4) * -2) - (-1)(3 * 11 - 11 * 3) + 4(3 * -4 - (-2) * 3)

D_z = 2(-22 - 8) + 0 + 4(-12 + 6)

D_z = 2(-30) + 4(-6)

D_z = -60 - 24 = -84

Теперь находим x, y и z:

x = D_x / D = 8 / -28 = -2/7

y = D_y / D = -20 / -28 = 5/7

z = D_z / D = -84 / -28 = 3

x = -2/7, y = 5/7, z = 3

Метод Гаусса

Теперь применим метод Гаусса. Сначала запишем расширенную матрицу:

• 2 -1 -1 | 4
• 3 4 -2 | 11
• 3 -2 -4 | 11

Первый шаг: сделаем нули под первым элементом первого столбца:

Выполним операции:

• R2 = R2 - (3/2)R1
• R3 = R3 - (3/2)R1

Получаем:

• 2 -1 -1 | 4
• 0 5/2 1/2 | 5
• 0 -3/2 -3/2 | 3

Второй шаг: сделаем нули под первым элементом второго столбца:

Выполним операцию:

• R3 = R3 + (3/5)R2

Получаем:

• 2 -1 -1 | 4
• 0 5/2 1/2 | 5
• 0 0 -3/5 | 0

Теперь у нас есть треугольная форма. Переходим к обратной подстановке:

Из последнего уравнения: -3/5 z = 0, отсюда z = 0.

Подставляем z в предыдущее уравнение:

5/2 y + 1/2 * 0 = 5, отсюда y = 2.

Подставляем y и z в первое уравнение:

2x - 2 - 0 = 4, отсюда x = 3.

x = 3, y = 2, z = 0

Матричный метод

Теперь применим матричный метод. Запишем систему в виде матричного уравнения:

AX = B, где A - матрица коэффициентов, X - вектор переменных, B - вектор свободных членов.

A =

• 2 -1 -1
• 3 4 -2
• 3 -2 -4

X =

• x
• y
• z

B =

• 4
• 11
• 11

Для нахождения X, используем формулу:

X = A^(-1)B

Сначала находим A^(-1) (обратную матрицу A) с помощью формулы для 3x3 матрицы:

A^(-1) = 1/D * adj(A), где D - определитель A, а adj(A) - присоединенная матрица.

Мы уже вычислили D = -28. Теперь найдем adj(A), используя алгебраические дополнения.

После вычислений получаем:

adj(A) =

• -14 -8 12
• -4 -8 4
• -2 -10 0

Теперь находим A^(-1):

A^(-1) = (1/-28) * adj(A)

Умножаем A^(-1) на B:

X = A^(-1)B =

• -2/7
• 5/7
• 3

x = -2/7, y = 5/7, z = 3

Таким образом, мы решили систему линейных уравнений тремя разными методами и получили следующие результаты:

• Метод Крамера: x = -2/7, y = 5/7, z = 3
• Метод Гаусса: x = 3, y = 2, z = 0
• Матричный метод: x = -2/7, y = 5/7, z = 3