Решите уравнение (2sin²x-sinx)/(2cosx-√3)=0. Найдите все корни этого уравнения, которые принадлежат отрезку [3π/2; 3π].

Математика 11 класс Уравнения тригонометрических функций уравнение математика корни Тригонометрия sin cos отрезок решение уравнения 3π/2 3π Новый

Для решения уравнения (2sin²x - sinx) / (2cosx - √3) = 0, начнем с того, что дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Таким образом, нам нужно решить уравнение:

1. Решим числитель:

2sin²x - sinx = 0

Это уравнение можно факторизовать:

• sinx(2sinx - 1) = 0

Теперь у нас есть два случая:

• sinx = 0
• 2sinx - 1 = 0

2. Найдем корни для каждого случая:

Случай 1: sinx = 0

Синус равен нулю на значениях:

• x = nπ, где n - целое число.

Случай 2: 2sinx - 1 = 0

Решим это уравнение:

• 2sinx = 1
• sinx = 1/2

Синус равен 1/2 на значениях:

• x = π/6 + 2nπ
• x = 5π/6 + 2nπ

3. Теперь соберем все корни:

Объединив оба случая, мы имеем:

• x = nπ
• x = π/6 + 2nπ
• x = 5π/6 + 2nπ

4. Теперь проверим, что знаменатель не равен нулю:

Знаменатель 2cosx - √3 не должен равняться нулю:

• 2cosx - √3 = 0
• 2cosx = √3
• cosx = √3/2

Косинус равен √3/2 на значениях:

• x = π/6 + 2nπ
• x = 11π/6 + 2nπ

Эти значения нужно исключить из корней, так как они делают знаменатель равным нулю.

5. Теперь найдем корни на отрезке [3π/2; 3π]:

Рассмотрим значения:

• n = 0: x = 0, π, π/6, 5π/6
• n = 1: x = π, 7π/6, 11π/6, 13π/6

Корни, которые попадают в отрезок [3π/2; 3π]:

• x = 3π/2
• x = 11π/6

Таким образом, корни уравнения на заданном отрезке:

• x = 3π/2
• x = 11π/6

Ответ: x = 3π/2 и x = 11π/6.