Похожие вопросы
2025-10-28 00:20:25
В каждой клетке шахматной доски изначально стоит нуль. Петя и Вася играют в игру, где ходят по очереди, начиная с Пети. Петя на каждом своем ходе выбирает квадрат из четырех клеток и может прибавить нуль или единицу к каждому из чисел в этом квадрате. Вася, в свою очередь, выбирает одну клетку и также прибавляет к числу в ней нуль или единицу. Петя хочет, чтобы после 2024-го хода (то есть после 1012 ходов каждого) на доске было как можно больше нечетных чисел. Какое максимальное количество нечетных чисел он может получить, независимо от действий Васи?
Математика 11 класс Комбинаторика шахматная доска игра Петя и Вася нечетные числа стратегия игры математика 11 класс комбинаторная игра оптимизация результата количество нечётных чисел ход игры математическая логика Новый
2025-10-28 00:20:46
Для решения этой задачи нам нужно проанализировать, как Петя и Вася могут влиять на значения клеток шахматной доски и как Петя может максимизировать количество нечетных чисел после 2024-го хода.
Шаг 1: Понимание ходов Пети и Васи
- Петя на каждом своем ходе выбирает квадрат из четырех клеток и может прибавить нуль или единицу к каждому из чисел в этом квадрате.
- Вася выбирает одну клетку и также прибавляет к числу в ней нуль или единицу.
Шаг 2: Влияние ходов на четность чисел
- Если Петя добавляет единицу к клеткам, то четность этих клеток меняется (четное становится нечетным и наоборот).
- Если Вася добавляет единицу к клетке, он также меняет четность только этой клетки.
Шаг 3: Стратегия Пети
- Петя может выбирать квадраты так, чтобы максимально увеличить количество нечетных чисел. Например, если он выберет квадрат из четырех клеток и добавит единицу ко всем, это изменит четность всех четырех клеток.
- Петя может сделать так, чтобы после своих 1012 ходов на доске было как можно больше нечетных чисел.
Шаг 4: Максимизация нечетных чисел
- Петя может добиться ситуации, когда он сделает все 64 клетки нечетными. Для этого он просто должен в каждом ходе выбирать квадраты так, чтобы в конечном итоге все клетки стали нечетными.
- После этого, если Вася добавит единицу к одной из клеток, она станет четной. Однако, если у Пети на доске 63 нечетных числа, то после хода Васи на доске останется 62 нечетных числа.
Шаг 5: Подсчет итогового количества нечетных чисел
- Петя может сделать так, чтобы на доске стало 64 нечетных числа.
- Вася, даже если он добавит единицу к любой клетке, может уменьшить количество нечетных чисел только на 1.
Таким образом, максимальное количество нечетных чисел, которое Петя может гарантировать независимо от действий Васи, составляет 63.
Ответ: Максимальное количество нечетных чисел, которое Петя может получить, составляет 63.