Для решения данной задачи начнем с анализа куба и понимания, как расположены точки A, B и C на его рёбрах.

Шаг 1: Определение размеров куба

Площадь боковой поверхности куба равна 96 см². Поскольку куб имеет 6 граней и все грани квадратные, площадь одной грани будет равна 96 см² / 6 = 16 см². Площадь квадрата определяется как сторона в квадрате, то есть:

сторона^2 = 16 см²

Следовательно, сторона куба равна:

сторона = √16 = 4 см.

Шаг 2: Определение координат точек A, B и C

Обозначим координаты вершин куба следующим образом:

• M(0, 0, 0)
• M1(0, 0, 4)
• P(0, 4, 0)
• P1(0, 4, 4)
• Q(4, 0, 0)
• Q1(4, 0, 4)
• T(4, 4, 0)
• T1(4, 4, 4)

Теперь определим координаты точек A, B и C:

• Точка A находится на ребре MM1, делим его на 3 части: M1A:AM = 2:1. Значит, A будет находиться на расстоянии 2/3 от M1, то есть A(0, 0, 2).
• Точка B находится на ребре M1P1, также делим его на 3 части: M1B:BP1 = 2:1. Значит, B будет находиться на расстоянии 2/3 от M1, то есть B(0, 2, 4).
• Точка C находится на ребре M1T1, делим его на 3 части: M1C:CT1 = 2:1. Значит, C будет находиться на расстоянии 2/3 от M1, то есть C(2, 4, 4).

Шаг 3: Уравнение плоскости A, B, C

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через три точки, используем координаты точек A, B и C.

Пусть уравнение плоскости имеет вид Ax + By + Cz + D = 0. Подставим координаты точек:

1. Для A(0, 0, 2): D = -2C
2. Для B(0, 2, 4): 2B + 4C - 2C = 0, т.е. 2B + 2C = 0, B = -C.
3. Для C(2, 4, 4): 2A + 4B + 4C + D = 0.

Подставив B = -C и D = -2C, получим уравнение плоскости.

Шаг 4: Сечение куба плоскостью A, B, C

После нахождения уравнения плоскости, определим точки пересечения плоскости с рёбрами куба, чтобы получить сечение.

Шаг 5: Найти радиус вписанной окружности

Вписанная окружность в треугольник ABC имеет радиус, который можно найти по формуле:

r = S / p,

Для нахождения площади треугольника ABC используем формулу:

S = 0.5 * |(x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2))|.

После нахождения S и p, подставляем в формулу для радиуса r.

Таким образом, вы получите радиус окружности, вписанной в сечение плоскостью A, B, C. Не забудьте проверить все вычисления на корректность.