Похожие вопросы
2025-10-26 23:26:02
В одной из трех партий деталей третья часть является второсортной, а остальные детали первого сорта. Если из одной партии была взята деталь, и она оказалась первосортной, какова вероятность того, что эта деталь была из партии с второсортными деталями? Также, как изменится вероятность, если вторая деталь, взятая из той же партии, также оказалась первосортной, при условии, что первая деталь была возвращена в партию?
Математика 11 класс Теория вероятностей
2025-11-03 23:14:08
Для решения данной задачи будем использовать теорию вероятностей, в частности, формулу Байеса.
Обозначим:
- A1 - событие, что деталь взята из первой партии.
- A2 - событие, что деталь взята из второй партии.
- A3 - событие, что деталь взята из третьей партии.
- B - событие, что деталь оказалась первосортной.
По условию задачи, в третьей партии третья часть деталей является второсортной. Это значит, что в третьей партии:
- Доля первосортных деталей = 2/3.
- Доля второсортных деталей = 1/3.
Предположим, что каждая из партий равновероятна, то есть:
- P(A1) = P(A2) = P(A3) = 1/3.
Теперь найдем вероятность того, что деталь первосортная, если она была взята из третьей партии:
- P(B|A3) = 2/3.
Вероятности того, что деталь первосортная из первой и второй партий равны 1, так как в этих партиях нет второсортных деталей:
- P(B|A1) = 1.
- P(B|A2) = 1.
Теперь найдем общую вероятность события B:
- P(B) = P(B|A1) * P(A1) + P(B|A2) * P(A2) + P(B|A3) * P(A3).
- Подставим значения: P(B) = 1 * (1/3) + 1 * (1/3) + (2/3) * (1/3) = 1/3 + 1/3 + 2/9 = 6/9 + 2/9 = 8/9.
Теперь можем найти условную вероятность того, что деталь была из третьей партии, при условии, что она оказалась первосортной, используя формулу Байеса:
- P(A3|B) = (P(B|A3) * P(A3)) / P(B).
- Подставим значения: P(A3|B) = ((2/3) * (1/3)) / (8/9) = (2/9) / (8/9) = 2/8 = 1/4.
Таким образом, вероятность того, что деталь была из партии с второсортными деталями, равна 1/4.
Теперь рассмотрим ситуацию, когда из той же партии была взята вторая деталь, которая также оказалась первосортной. Мы должны пересчитать вероятность с учетом того, что обе детали первосортные.
Обозначим новое событие:
- C - событие, что обе детали оказались первосортными.
Теперь найдем вероятность события C:
- P(C|A3) = P(B|A3) * P(B|A3) = (2/3) * (2/3) = 4/9.
- P(C|A1) = 1 * 1 = 1.
- P(C|A2) = 1 * 1 = 1.
Теперь найдем общую вероятность события C:
- P(C) = P(C|A1) * P(A1) + P(C|A2) * P(A2) + P(C|A3) * P(A3).
- Подставим значения: P(C) = 1 * (1/3) + 1 * (1/3) + (4/9) * (1/3) = 1/3 + 1/3 + 4/27 = 18/27 + 4/27 = 22/27.
Теперь можем найти условную вероятность того, что обе детали были из третьей партии, при условии, что обе оказались первосортными:
- P(A3|C) = (P(C|A3) * P(A3)) / P(C).
- Подставим значения: P(A3|C) = ((4/9) * (1/3)) / (22/27) = (4/27) / (22/27) = 4/22 = 2/11.
Таким образом, вероятность того, что обе детали были из партии с второсортными деталями, при условии, что обе оказались первосортными, равна 2/11.