Чтобы вычислить производные функции f(x) = sin(4x) + 4cos(x), сначала найдем производную этой функции. Напомним, что производная функции показывает, как изменяется значение функции при изменении её аргумента.

Шаг 1: Найдем производную f'(x).

• Для первой части функции, sin(4x), используем правило производной для синуса и правило цепочки:
• Производная sin(4x) равна 4cos(4x).
• Для второй части функции, 4cos(x), используем правило производной для косинуса:
• Производная 4cos(x) равна -4sin(x).

Таким образом, производная функции f(x) будет:

f'(x) = 4cos(4x) - 4sin(x).

Шаг 2: Теперь нужно найти значения производной f'(x) в точках π/4 и π/6.

Сначала подставим x = π/4:

• f'(π/4) = 4cos(4 * π/4) - 4sin(π/4).
• 4 * π/4 = π, поэтому cos(π) = -1 и sin(π/4) = √2/2.
• Таким образом, f'(π/4) = 4 * (-1) - 4 * (√2/2) = -4 - 2√2.

Теперь подставим x = π/6:

• f'(π/6) = 4cos(4 * π/6) - 4sin(π/6).
• 4 * π/6 = 2π/3, поэтому cos(2π/3) = -1/2 и sin(π/6) = 1/2.
• Таким образом, f'(π/6) = 4 * (-1/2) - 4 * (1/2) = -2 - 2 = -4.

Итак, мы нашли значения производной функции f(x) в заданных точках:

• f'(π/4) = -4 - 2√2;
• f'(π/6) = -4.