Для решения данной задачи начнем с уравнения, которое нам дано: х² - 4х + 1 = 0. Это квадратное уравнение, и мы можем найти его корни с помощью формулы корней квадратного уравнения:

Формула: х = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае a = 1, b = -4, c = 1. Подставим значения в формулу:

• Дискриминант D = b² - 4ac = (-4)² - 4*1*1 = 16 - 4 = 12
• Теперь подставим дискриминант в формулу корней:

х = (4 ± √12) / 2 = (4 ± 2√3) / 2 = 2 ± √3

Таким образом, у нас есть два корня: х₁ = 2 + √3 и х₂ = 2 - √3.

Теперь, когда мы нашли корни, мы можем вычислить значение выражения х + х² + 1/х² + 1/х. Чтобы упростить вычисления, найдем значения х² и 1/х для обоих корней.

Сначала найдем х²:

• Для х₁ = 2 + √3: х₁² = (2 + √3)² = 4 + 4√3 + 3 = 7 + 4√3
• Для х₂ = 2 - √3: х₂² = (2 - √3)² = 4 - 4√3 + 3 = 7 - 4√3

Теперь найдем 1/х для обоих корней:

• 1/х₁ = 1/(2 + √3) = (2 - √3) / (4 - 3) = 2 - √3
• 1/х₂ = 1/(2 - √3) = (2 + √3) / (4 - 3) = 2 + √3

Теперь можем подставить все найденные значения в выражение:

Для х₁:

• х₁ + х₁² + 1/х₁² + 1/х₁ = (2 + √3) + (7 + 4√3) + (1/(7 + 4√3)) + (2 - √3)

Для х₂:

• х₂ + х₂² + 1/х₂² + 1/х₂ = (2 - √3) + (7 - 4√3) + (1/(7 - 4√3)) + (2 + √3)

Теперь мы можем упростить оба выражения, но заметим, что при подстановке значений корней, выражение будет иметь одинаковую структуру и, соответственно, одинаковое значение.

Таким образом, значение выражения х + х² + 1/х² + 1/х будет одно и то же для обоих корней. Для окончательного результата можно использовать одно из значений:

Ответ: значение выражения х + х² + 1/х² + 1/х равно 10.