Для решения этой задачи нам нужно найти наименьшее число книг, которое при делении на 10, 12 и 15 дает в остатке 8.

Обозначим количество книг как x. Тогда мы можем записать следующие условия:

• x % 10 = 8
• x % 12 = 8
• x % 15 = 8

Это означает, что x при делении на 10, 12 и 15 дает остаток 8. Мы можем переписать эти условия в виде:

• x = 10k + 8, где k - целое число
• x = 12m + 8, где m - целое число
• x = 15n + 8, где n - целое число

Теперь, чтобы избавиться от остатка 8, мы можем выразить x как:

• x - 8 = 10k
• x - 8 = 12m
• x - 8 = 15n

Это означает, что x - 8 должно быть кратно 10, 12 и 15. Теперь найдем наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел.

Для нахождения НОК:

1. Разложим числа на простые множители:
• 10 = 2 * 5
• 12 = 2^2 * 3
• 15 = 3 * 5
2. Выберем максимальные степени всех простых множителей:
• 2^2 (из 12)
• 3^1 (из 12 или 15)
• 5^1 (из 10 или 15)
3. Теперь перемножим их:
• 2^2 * 3^1 * 5^1 = 4 * 3 * 5 = 60

Таким образом, НОК(10, 12, 15) = 60. Это значит, что x - 8 должно быть равно 60k, где k - целое число. Значит:

x = 60k + 8

Теперь найдем наименьшее значение x при k = 1:

x = 60 * 1 + 8 = 68

Таким образом, наименьшее количество книг, которое было подарено школе, равно 68.