65 школьников написали 3 контрольные работы. За каждую контрольную работу ставится одна из оценок: "2", "3", "4" или "5". Как можно доказать, что среди этих школьников найдутся такие, которые получили одинаковые оценки за все контрольные работы?

Математика 8 класс Комбинаторика 65 школьников контрольные работы оценки одинаковые оценки доказательство математика 8 класс Новый

Для решения этой задачи мы можем использовать принцип Дирихле, также известный как принцип "птичьего гнезда". Давайте разберемся, как он работает в данном случае.

Шаг 1: Определим количество возможных оценок.

Каждый школьник может получить одну из четырех оценок за каждую контрольную работу: "2", "3", "4" или "5". Таким образом, для каждой контрольной работы у нас есть 4 возможные оценки.

Шаг 2: Найдем общее количество комбинаций оценок.

Поскольку у нас 3 контрольные работы, и каждая из них может иметь 4 оценки, общее количество возможных комбинаций оценок для одного школьника будет равно:

• 4 (оценки за первую контрольную работу) * 4 (оценки за вторую контрольную работу) * 4 (оценки за третью контрольную работу) = 4^3 = 64.

Шаг 3: Применим принцип Дирихле.

Теперь у нас есть 65 школьников и 64 различных комбинации оценок. Принцип Дирихле утверждает, что если у нас больше объектов (в данном случае школьников), чем ячеек (в данном случае комбинаций оценок), то по крайней мере две ячейки должны содержать по крайней мере один общий объект.

В нашем случае, поскольку 65 школьников больше, чем 64 возможные комбинации оценок, это означает, что среди школьников обязательно найдутся такие, которые получили одинаковые оценки за все контрольные работы.

Вывод:

Таким образом, мы можем заключить, что среди 65 школьников обязательно найдутся такие, которые получили одинаковые оценки за все контрольные работы. Это и есть наше доказательство.