Из 20 чисел от 1 до 20 Петя выбирает 15 чисел и находит их сумму. Сколько различных сумм, которые кратны 7, он может получить, выбирая разные комбинации чисел?

Математика 8 класс Комбинаторика математика 8 класс комбинаторика сумма чисел кратные 7 выбор чисел различные суммы задачи по математике Новый

Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся с тем, как Петя выбирает 15 чисел из 20 и какие суммы он может получить. Мы будем искать суммы, которые кратны 7.

Сначала найдем сумму всех чисел от 1 до 20. Сумма чисел от 1 до n вычисляется по формуле:

Сумма = n(n + 1) / 2

Для n = 20:

Сумма = 20(20 + 1) / 2 = 20 * 21 / 2 = 210

Теперь, если Петя выбирает 15 чисел, это значит, что он не выбирает 5 чисел. Сумма 15 выбранных чисел будет равна:

Сумма 15 чисел = 210 - Сумма 5 невыбранных чисел

Теперь нам нужно понять, какие суммы 5 невыбранных чисел могут быть. Поскольку числа от 1 до 20, то сумма 5 чисел будет варьироваться в зависимости от того, какие именно числа выбраны.

Минимальная сумма 5 чисел (1, 2, 3, 4, 5) равна:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Максимальная сумма 5 чисел (16, 17, 18, 19, 20) равна:

16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 90

Таким образом, сумма 5 невыбранных чисел может варьироваться от 15 до 90. Теперь давайте определим, какие суммы 15 выбранных чисел будут кратны 7.

Сумма 15 чисел будет равна:

Сумма 15 чисел = 210 - Сумма 5 невыбранных чисел

Чтобы сумма 15 чисел была кратна 7, нам нужно, чтобы:

210 - Сумма 5 невыбранных чисел ≡ 0 (mod 7)

Сначала найдем, чему равна 210 по модулю 7:

210 mod 7 = 0

Это означает, что для того, чтобы сумма 15 чисел была кратна 7, сумма 5 невыбранных чисел также должна быть кратна 7:

Сумма 5 невыбранных чисел ≡ 0 (mod 7)

Теперь давайте посмотрим, какие возможные значения может принимать сумма 5 невыбранных чисел от 15 до 90 и какие из них кратны 7. Чтобы это сделать, найдем минимальное и максимальное значение суммы, которое кратно 7:

• Минимальное значение в диапазоне: 15 (ближайшее кратное 7 - это 21)
• Максимальное значение в диапазоне: 90 (ближайшее кратное 7 - это 84)

Теперь найдем все кратные 7 значения от 21 до 84:

Кратные 7 числа: 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84.

Теперь посчитаем количество таких чисел:

• 21
• 28
• 35
• 42
• 49
• 56
• 63
• 70
• 77
• 84

Всего у нас 10 значений.

Таким образом, Петя может получить 10 различных сумм, которые кратны 7, выбирая разные комбинации чисел.