Чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции y=2x³-3x²-12x+1, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку:

1. Найти производную функции. Производная функции показывает, как изменяется значение функции при изменении переменной x. Найдем производную y:

y' = d(2x³-3x²-12x+1)/dx = 6x² - 6x - 12

2. Найти критические точки. Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Мы приравняем производную к нулю:

6x² - 6x - 12 = 0

Упростим уравнение, разделив его на 6:

x² - x - 2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

x = (b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -1, c = -2.

Подставляем значения:

x = (1 ± √((-1)² - 4*1*(-2))) / (2*1) = (1 ± √(1 + 8)) / 2 = (1 ± √9) / 2 = (1 ± 3) / 2.

Таким образом, получаем два корня:

• x₁ = (1 + 3) / 2 = 2
• x₂ = (1 - 3) / 2 = -1
3. Определить знаки производной на интервалах. Теперь у нас есть критические точки x = -1 и x = 2. Эти точки делят числовую ось на три интервала:
• (-∞, -1)
• (-1, 2)
• (2, +∞)

Теперь мы должны выбрать тестовые точки из каждого интервала и подставить их в производную:

• Для интервала (-∞, -1): возьмем, например, x = -2:

y'(-2) = 6(-2)² - 6(-2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 (положительно).

• Для интервала (-1, 2): возьмем, например, x = 0:

y'(0) = 6(0)² - 6(0) - 12 = -12 (отрицательно).

• Для интервала (2, +∞): возьмем, например, x = 3:

y'(3) = 6(3)² - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 (положительно).

4. Определить интервалы возрастания и убывания. Теперь мы можем сделать выводы:
• На интервале (-∞, -1) производная положительна, значит, функция возрастает.
• На интервале (-1, 2) производная отрицательна, значит, функция убывает.
• На интервале (2, +∞) производная положительна, значит, функция снова возрастает.

Таким образом, мы можем записать:

• Функция возрастает на интервалах: (-∞, -1) и (2, +∞).
• Функция убывает на интервале: (-1, 2).

Это и есть ответ на ваш вопрос!