На предприятии работает несколько сотрудников, и зарплата каждого из них составляет целое число тугриков, при этом разные сотрудники могут получать разные суммы. Инкассаторы доставили 100 монет по 1 тугрику, 100 монет по 2 тугрика и так далее, вплоть до 100 монет по 2017 тугриков. Эти деньги составляют ровно общую зарплату всех сотрудников. Какое максимальное количество сотрудников можно обеспечить зарплатой, так чтобы каждый получил именно ту сумму, которая ему положена?

Математика 8 класс Системы уравнений и неравенств математика 8 класс задача зарплата сотрудники целые числа тугрики инкассаторы монеты максимальное количество распределение сумма условия задачи арифметика комбинаторика Новый

Решим задачу о максимальном количестве сотрудников, которые можно обеспечить зарплатой, используя имеющиеся деньги. У нас есть 100 монет по каждому номиналу от 1 до 2017 тугриков. Это означает, что у нас в общей сложности:

• 100 монет по 1 тугрику (всего 100 тугриков),
• 100 монет по 2 тугрика (всего 200 тугриков),
• 100 монет по 3 тугрика (всего 300 тугриков),
• ... и так далее, до
• 100 монет по 2017 тугриков (всего 201700 тугриков).

Теперь найдем общую сумму всех монет:

Сумма = 100 × (1 + 2 + 3 + ... + 2017).

Сумма первых n чисел вычисляется по формуле:

Сумма = n × (n + 1) / 2.

В нашем случае:

Сумма = 100 × (2017 × 2018 / 2) = 100 × 2037173 = 203717300 тугриков.

Теперь мы должны понять, сколько сотрудников мы можем обеспечить зарплатой, чтобы каждый получил полную сумму, и чтобы не было недостатка в монетах.

Если мы предположим, что у нас 102 сотрудника, то возможно распределение зарплат будет таким: 101 сотрудник получит по 1 тугрику, а оставшийся 102-й сотрудник получит всю оставшуюся сумму. Однако это не получится, поскольку у нас только 100 монет по 1 тугрику. Таким образом, 102 сотрудника не могут быть обеспечены зарплатой.

Теперь проверим, можем ли мы обеспечить 101 сотрудника:

• Если у нас 101 сотрудник, то каждому из них нужно будет выплатить не менее 1 тугрика.
• Мы можем начать с того, чтобы одному из сотрудников сразу выплатить максимальную сумму, которая у нас есть, а остальных сотрудников распределять по оставшимся номиналам.

Если максимальный номинал x >= 3, то для первого сотрудника нам нужно будет заплатить не менее (50x^2 - 49x) тугриков. Мы можем показать, что если x >= 3, то оставшаяся сумма, которую нужно выплатить, будет больше необходимой для покрытия всех сотрудников.

Однако, если мы попытаемся распределить зарплату так, чтобы у каждого сотрудника была зарплата 1 тугрик, то это не получится, поскольку у нас только 100 монет по 1 тугрику.

Таким образом, если x = 2, то у первого сотрудника зарплата должна быть не менее 2 тугриков, поскольку в противном случае сумма всех монет не превышала бы 101 тугрик. А если x = 1, то это возможно, поскольку у нас есть достаточно монет.

Поэтому, максимальное количество сотрудников, которых можно обеспечить зарплатой, составляет 100.