Для того чтобы сложить алгебраические дроби, нам необходимо привести их к общему знаменателю. Давайте рассмотрим каждую дробь и найдем общий знаменатель.

1. Первая дробь: (a + 1) / (a^3 - 1). Мы можем разложить знаменатель a^3 - 1 на множители. Это разность кубов, и она раскладывается следующим образом:

• a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)

2. Вторая дробь: 1 / (a^2 + a + 1). Этот знаменатель уже в разложенном виде.

3. Третья дробь: 2 / (a - 1). Этот знаменатель также в разложенном виде.

Теперь у нас есть следующие дроби:

• (a + 1) / ((a - 1)(a^2 + a + 1))
• 1 / (a^2 + a + 1)
• 2 / (a - 1)

Теперь найдем общий знаменатель для всех дробей. Общий знаменатель будет:

• (a - 1)(a^2 + a + 1)

Теперь мы можем привести каждую дробь к этому общему знаменателю:

1. Первая дробь уже имеет общий знаменатель:

• (a + 1) / ((a - 1)(a^2 + a + 1)) = (a + 1)

2. Вторая дробь: 1 / (a^2 + a + 1). Чтобы привести ее к общему знаменателю, умножим числитель и знаменатель на (a - 1):

• 1 / (a^2 + a + 1) = (a - 1) / ((a - 1)(a^2 + a + 1))

3. Третья дробь: 2 / (a - 1). Чтобы привести ее к общему знаменателю, умножим числитель и знаменатель на (a^2 + a + 1):

• 2 / (a - 1) = 2(a^2 + a + 1) / ((a - 1)(a^2 + a + 1))

Теперь у нас есть все дроби с общим знаменателем:

• (a + 1) / ((a - 1)(a^2 + a + 1))
• (a - 1) / ((a - 1)(a^2 + a + 1))
• 2(a^2 + a + 1) / ((a - 1)(a^2 + a + 1))

Теперь мы можем сложить их числители:

1. Числитель: (a + 1) + (a - 1) + 2(a^2 + a + 1)
2. Упрощаем числитель:
• (a + 1) + (a - 1) = 2a
• 2(a^2 + a + 1) = 2a^2 + 2a + 2
3. Теперь складываем: 2a + 2a^2 + 2a + 2 = 2a^2 + 4a + 2

Таким образом, общий числитель равен 2a^2 + 4a + 2. Теперь подставляем его в общий знаменатель:

Получаем:

(2a^2 + 4a + 2) / ((a - 1)(a^2 + a + 1))

Мы можем вынести общий множитель 2 из числителя:

2(a^2 + 2a + 1) / ((a - 1)(a^2 + a + 1))

Или записать в более простом виде:

2(a + 1)^2 / ((a - 1)(a^2 + a + 1))

Это и будет окончательный ответ на задачу:

2(a + 1)^2 / ((a - 1)(a^2 + a + 1))