Как можно доказать, что скалярное произведение векторов СА и СО равно половине произведения AC в квадрате, если дан треугольник АВС с углом ACB равным 90 градусам и AO равно OB?

Математика 9 класс Скалярное произведение векторов скалярное произведение векторов треугольник ABC угол ACB 90 градусов доказательство векторов свойства скалярного произведения геометрия векторов векторы AC и AO математические доказательства векторы в треугольнике половина произведения AC в квадрате Новый

Для доказательства того, что скалярное произведение векторов СА и СО равно половине произведения AC в квадрате, начнем с анализа условий задачи.

Дано:

• Треугольник ABC с углом ACB равным 90 градусам.
• Точка O находится на отрезке AB так, что AO равно OB.

Обозначим:

• AC = b
• BC = a
• AB = c

Так как угол ACB равен 90 градусам, мы можем использовать теорему Пифагора:

c² = a² + b²

Теперь, чтобы найти скалярное произведение векторов CA и CO, нам нужно выразить эти векторы через координаты.

Допустим, что:

• Точка C находится в начале координат (0, 0).
• Точка A имеет координаты (0, b).
• Точка B имеет координаты (a, 0).

Теперь найдем координаты точки O. Поскольку AO = OB, точка O будет находиться на середине отрезка AB. Таким образом, координаты точки O будут:

O = ((0 + a) / 2, (b + 0) / 2) = (a/2, b/2).

Теперь можем записать векторы:

• Вектор CA = A - C = (0, b) - (0, 0) = (0, b).
• Вектор CO = O - C = (a/2, b/2) - (0, 0) = (a/2, b/2).

Теперь вычислим скалярное произведение векторов CA и CO:

CA · CO = (0, b) · (a/2, b/2) = 0 * (a/2) + b * (b/2) = (b² / 2).

Теперь найдем половину произведения AC в квадрате:

AC = b, следовательно:

(1/2) * AC² = (1/2) * b².

Таким образом, мы видим, что:

CA · CO = (b² / 2) = (1/2) * AC².

Это и доказывает, что скалярное произведение векторов CA и CO действительно равно половине произведения AC в квадрате.