Какое значение m делает угол между векторами a(1;-2;1) и b(m;1;1) равным 120 градусов?

Математика 9 класс Скалярное произведение векторов угол между векторами значение m векторы a и b 120 градусов математика 9 класс Новый

Чтобы найти значение m, которое делает угол между векторами a(1; -2; 1) и b(m; 1; 1) равным 120 градусов, мы можем воспользоваться формулой для косинуса угла между двумя векторами.

Формула для косинуса угла θ между векторами a и b выглядит следующим образом:

cos(θ) = (a · b) / (|a| * |b|)

Где:

• a · b - скалярное произведение векторов a и b;
• |a| и |b| - длины (модули) векторов a и b соответственно.

Так как угол θ равен 120 градусов, мы можем использовать значение cos(120°), которое равно -0.5.

Теперь давайте найдем скалярное произведение a и b:

a · b = 1 * m + (-2) * 1 + 1 * 1 = m - 2 + 1 = m - 1

Теперь найдем длины векторов a и b:

|a| = sqrt(1^2 + (-2)^2 + 1^2) = sqrt(1 + 4 + 1) = sqrt(6)

|b| = sqrt(m^2 + 1^2 + 1^2) = sqrt(m^2 + 1 + 1) = sqrt(m^2 + 2)

Теперь подставим все значения в формулу для косинуса:

-0.5 = (m - 1) / (sqrt(6) * sqrt(m^2 + 2))

Теперь умножим обе стороны уравнения на (sqrt(6) * sqrt(m^2 + 2)):

-0.5 * sqrt(6) * sqrt(m^2 + 2) = m - 1

Умножим обе стороны на -2, чтобы избавиться от дроби:

sqrt(6) * sqrt(m^2 + 2) = -2(m - 1)

Теперь упростим правую часть:

sqrt(6) * sqrt(m^2 + 2) = -2m + 2

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

6(m^2 + 2) = (-2m + 2)^2

Раскроем скобки:

6m^2 + 12 = 4m^2 - 8m + 4

Теперь перенесем все в одну сторону:

6m^2 - 4m^2 + 8m + 12 - 4 = 0

Упростим:

2m^2 + 8m + 8 = 0

Разделим уравнение на 2:

m^2 + 4m + 4 = 0

Теперь это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 * 1 * 4 = 16 - 16 = 0

Так как дискриминант равен нулю, у уравнения есть один корень:

m = -b / 2a = -4 / 2 = -2

Таким образом, значение m, которое делает угол между векторами a и b равным 120 градусов, равно -2.