Какое наименьшее значение функции f(x)=4x³-x⁴ можно найти на отрезке [-2; 3]? Пожалуйста, приведите подробный ход решения на листке.

Математика 9 класс Оптимизация функций наименьшее значение функции f(x)=4x³-x⁴ отрезок [-2; 3] решение задачи по математике график функции анализ функции экстремумы функции Новый

Чтобы найти наименьшее значение функции f(x) = 4x³ - x⁴ на отрезке [-2; 3], мы будем следовать следующим шагам:

1. Найдем производную функции. Это поможет определить критические точки, где функция может принимать локальные минимумы или максимумы.

Вычислим производную:

f'(x) = d/dx (4x³ - x⁴) = 12x² - 4x³.

1. Приравняем производную к нулю. Это даст нам уравнение для нахождения критических точек.

12x² - 4x³ = 0

Вынесем общий множитель:

4x²(3 - x) = 0

1. Решим уравнение:
• 4x² = 0 → x = 0
• 3 - x = 0 → x = 3

Таким образом, критические точки: x = 0 и x = 3.

1. Проверим значения функции в критических точках и на границах отрезка. Нам нужно вычислить f(x) для x = -2, x = 0 и x = 3.

Теперь подставим значения:

f(-2) = 4(-2)³ - (-2)⁴ = 4(-8) - 16 = -32 - 16 = -48

f(0) = 4(0)³ - (0)⁴ = 0

f(3) = 4(3)³ - (3)⁴ = 4(27) - 81 = 108 - 81 = 27

1. Сравним все найденные значения:
• f(-2) = -48
• f(0) = 0
• f(3) = 27

Наименьшее значение функции на отрезке [-2; 3] равно -48 и оно достигается в точке x = -2.

Ответ: Наименьшее значение функции f(x) = 4x³ - x⁴ на отрезке [-2; 3] равно -48.