Чтобы определить область определения данных выражений, нам нужно выяснить, при каких значениях переменной x выражения под корнями не становятся отрицательными, а также чтобы делитель не равнялся нулю.

1. Рассмотрим первое выражение:

√((x-3)(x-5)) + √((1-x)(7-x))

Для первого корня √((x-3)(x-5)) необходимо, чтобы (x-3)(x-5) ≥ 0. Это неравенство выполняется, когда:

• x ≤ 3
• x ≥ 5

Таким образом, для первого корня область определения: x ≤ 3 или x ≥ 5.

Теперь рассмотрим второй корень √((1-x)(7-x)). Здесь необходимо, чтобы (1-x)(7-x) ≥ 0. Это неравенство выполняется, когда:

• x ≤ 1
• x ≥ 7

Таким образом, для второго корня область определения: x ≤ 1 или x ≥ 7.

Теперь нам нужно объединить области определения обоих корней. Пересечение условий:

• Для первого корня: x ≤ 3 или x ≥ 5
• Для второго корня: x ≤ 1 или x ≥ 7

Таким образом, область определения всего выражения:

• x ≤ 1
• x ≥ 7

2. Рассмотрим второе выражение:

√((3x+2)/(5-x)) + √((4-x)/(7-2x))

Для первого корня √((3x+2)/(5-x)) необходимо, чтобы 3x + 2 ≥ 0 и 5 - x > 0. Рассмотрим каждое условие:

• 3x + 2 ≥ 0 → x ≥ -2/3
• 5 - x > 0 → x < 5

Таким образом, область определения для первого корня: -2/3 ≤ x < 5.

Теперь рассмотрим второй корень √((4-x)/(7-2x)). Здесь необходимо, чтобы 4 - x ≥ 0 и 7 - 2x > 0. Рассмотрим каждое условие:

• 4 - x ≥ 0 → x ≤ 4
• 7 - 2x > 0 → x < 7/2 (или 3.5)

Таким образом, область определения для второго корня: x ≤ 4 и x < 3.5.

Теперь объединим области определения обоих корней:

• Для первого корня: -2/3 ≤ x < 5
• Для второго корня: x ≤ 4 и x < 3.5

Таким образом, область определения всего выражения:

• -2/3 ≤ x < 3.5

Итак, итоговые области определения:

• Для первого выражения: x ≤ 1 или x ≥ 7
• Для второго выражения: -2/3 ≤ x < 3.5