Чтобы найти значение выражения cos(arcsin(1/5)) + tg(arctg(1/3)) + tg(arccos(2/3)), давайте разберем каждую часть по отдельности.

1. cos(arcsin(1/5))

Пусть θ = arcsin(1/5). Это означает, что sin(θ) = 1/5. Теперь мы можем использовать тригонометрическую идентичность:

cos²(θ) + sin²(θ) = 1. Подставим значение sin(θ):

cos²(θ) + (1/5)² = 1

cos²(θ) + 1/25 = 1

cos²(θ) = 1 - 1/25 = 24/25

Следовательно, cos(θ) = √(24/25) = 2√6/5.

2. tg(arctg(1/3))

Пусть φ = arctg(1/3). Это значит, что tg(φ) = 1/3. Значит, значение этой части равно 1/3.

3. tg(arccos(2/3))

Пусть ψ = arccos(2/3). Это означает, что cos(ψ) = 2/3. Используем тригонометрическую идентичность:

sin²(ψ) + cos²(ψ) = 1. Подставляем значение cos(ψ):

sin²(ψ) + (2/3)² = 1

sin²(ψ) + 4/9 = 1

sin²(ψ) = 1 - 4/9 = 5/9

Следовательно, sin(ψ) = √(5/9) = √5/3.

Теперь найдем tg(ψ):

tg(ψ) = sin(ψ)/cos(ψ) = (√5/3) / (2/3) = √5/2.

Теперь, подставим все найденные значения в исходное выражение:

cos(arcsin(1/5)) + tg(arctg(1/3)) + tg(arccos(2/3)) = (2√6/5) + (1/3) + (√5/2).

Для удобства сложим дроби. Приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 5, 3 и 2 равен 30:

• (2√6/5) = (12√6/30)
• (1/3) = (10/30)
• (√5/2) = (15√5/30)

Теперь складываем:

(12√6 + 10 + 15√5) / 30.

Таким образом, значение выражения:

(12√6 + 10 + 15√5) / 30.