Для решения системы уравнений методом Гаусса, мы сначала запишем систему в виде расширенной матрицы. Система уравнений выглядит следующим образом:

• 5x - 4y + 3z = 3
• 6x - 3y + 2z = -8
• 4x + 3y - 5z = 5

Теперь запишем расширенную матрицу:

[ 5 -4 3 | 3 ]
[ 6 -3 2 | -8 ]
[ 4 3 -5 | 5 ]

Теперь будем приводить матрицу к ступенчатому виду. Для этого будем выполнять элементарные преобразования строк.

1. Сначала сделаем нуль под первым элементом (5) в первом столбце. Для этого вычтем из второй строки первую строку, умноженную на (6/5):

6 - (6/5)*5 = 0, -3 - (6/5)*(-4) = -3 + 24/5 = -3 + 4.8 = 1.8, 2 - (6/5)*3 = 2 - 18/5 = 2 - 3.6 = -1.6, -8 - (6/5)*3 = -8 - 18/5 = -8 - 3.6 = -11.6

Таким образом, новая вторая строка будет:

[ 0 1.8 -1.6 | -11.6 ]

2. Теперь сделаем нуль под первым элементом (5) в третьем столбце. Для этого вычтем из третьей строки первую строку, умноженную на (4/5):

4 - (4/5)*5 = 0, 3 - (4/5)*(-4) = 3 + 16/5 = 3 + 3.2 = 6.2, -5 - (4/5)*3 = -5 - 12/5 = -5 - 2.4 = -7.4, 5 - (4/5)*3 = 5 - 12/5 = 5 - 2.4 = 2.6

Таким образом, новая третья строка будет:

[ 0 6.2 -7.4 | 2.6 ]

Теперь у нас есть следующая матрица:

[ 5 -4 3 | 3 ]
[ 0 1.8 -1.6 | -11.6 ]
[ 0 6.2 -7.4 | 2.6 ]

Теперь мы можем продолжить преобразования. Упростим вторую строку, разделив её на 1.8:

[ 0 1 -0.8889 | -6.4444 ]

Теперь вычтем из третьей строки вторую строку, умноженную на (6.2):

0 - 0 = 0, 6.2 - 6.2*1 = 0, -7.4 - 6.2*(-0.8889) = -7.4 + 5.5 = -1.9, 2.6 - 6.2*(-6.4444) = 2.6 + 40.0 = 42.6

Теперь у нас есть следующая матрица:

[ 5 -4 3 | 3 ]
[ 0 1 -0.8889 | -6.4444 ]
[ 0 0 -1.9 | 42.6 ]

Теперь мы можем выразить z из третьей строки:

-1.9z = 42.6, следовательно, z = -22.47.

Подставляем z в вторую строку:

y - 0.8889*(-22.47) = -6.4444, следовательно, y = -6.4444 + 19.99 = 13.55.

Теперь подставим y и z в первую строку:

5x - 4*13.55 + 3*(-22.47) = 3, следовательно, x = 3 + 54.2 + 67.41 = 124.61/5 = 24.92.

Таким образом, мы получили решение:

• x ≈ 24.92
• y ≈ 13.55
• z ≈ -22.47