Как можно определить предел lim x -> 0 (arc * tan 4x)/(sin x), не применяя правило Лопиталя?

Математика Колледж Пределы функций предел lim x -> 0 arc tan 4x sin x математика вычисление предела неприменение правила Лопиталя Новый

Чтобы найти предел lim x -> 0 (arc * tan 4x)/(sin x) без применения правила Лопиталя, мы можем использовать разложение в ряд Тейлора для функций arctan и sin.

Шаг 1: Разложим функцию arctan(4x) в ряд Тейлора. При малых значениях x, мы знаем, что:

• arctan(x) ≈ x - x^3/3 + O(x^5)

Таким образом, для arctan(4x) мы получим:

• arctan(4x) ≈ 4x - (4x)^3/3 + O(x^5) = 4x - 64x^3/3 + O(x^5)

Шаг 2: Теперь разложим sin(x) в ряд Тейлора. Мы знаем, что:

• sin(x) ≈ x - x^3/6 + O(x^5)

Шаг 3: Теперь подставим эти разложения в предел:

lim x -> 0 (arctan(4x))/(sin(x)) = lim x -> 0 (4x - 64x^3/3 + O(x^5)) / (x - x^3/6 + O(x^5))

Шаг 4: Упростим дробь. Выделим x из числителя и знаменателя:

• = lim x -> 0 [4 - (64x^2/3) + O(x^4)] / [1 - (x^2/6) + O(x^4)]

Шаг 5: Теперь подставим x = 0:

• = [4 - 0 + 0] / [1 - 0 + 0] = 4/1 = 4

Таким образом, предел lim x -> 0 (arc * tan 4x)/(sin x) равен 4.