Каков предел при x, стремящемся к 0, для выражения (cos 3x - cos x) / (4x^2)?

Математика Колледж Пределы функций предел при x стремящемся к 0 выражение (cos 3x - cos x) / (4x^2) математика 12 класс тригонометрические функции пределы в математике Новый

Чтобы найти предел выражения (cos 3x - cos x) / (4x^2) при x, стремящемся к 0, мы можем использовать несколько шагов.

Шаг 1: Подставим x = 0 в выражение.

Если мы подставим x = 0, то получим:

• cos(3 * 0) - cos(0) = cos(0) - cos(0) = 1 - 1 = 0;
• 4 * (0)^2 = 0.

Таким образом, мы имеем неопределенность вида 0/0. Это значит, что нам нужно использовать другие методы для нахождения предела.

Шаг 2: Применим формулу разности косинусов.

Мы можем использовать формулу разности косинусов:

cos A - cos B = -2 * sin((A + B)/2) * sin((A - B)/2).

В нашем случае A = 3x и B = x. Подставим эти значения:

• cos(3x) - cos(x) = -2 * sin((3x + x)/2) * sin((3x - x)/2) = -2 * sin(2x) * sin(x).

Шаг 3: Подставим это в предел.

Теперь подставим это обратно в предел:

lim (x -> 0) (-2 * sin(2x) * sin(x)) / (4x^2).

Это можно упростить:

• lim (x -> 0) (-1/2) * (sin(2x) / x) * (sin(x) / x).

Шаг 4: Используем известные пределы.

Мы знаем, что lim (x -> 0) (sin(kx) / x) = k для любого k. Поэтому:

• lim (x -> 0) (sin(2x) / x) = 2;
• lim (x -> 0) (sin(x) / x) = 1.

Таким образом, подставляя эти пределы, мы получаем:

lim (x -> 0) (-1/2) * 2 * 1 = -1.

Ответ: Предел выражения (cos 3x - cos x) / (4x^2) при x, стремящемся к 0, равен -1.