Срочно!!!!!!! Даю 100 баллов! [НЕ СПАМИТЬ И НЕ ПИСАТЬ , ЧТО НЕ ЗНАЕТЕ!!!!!]

(Решение написать на листе!!!!)

ТЕМА: "обычные дифференциальные уравнения"

Задание:"Как найти общее решение (общий интеграл) для следующих дифференциальных уравнений:

1. 3e^x sin y dx + (1 - e^x) cos y dy = 0;
2. (1 + y²) dx - (y + yx²) dy = 0;
3. xy' = √(x² - y²) + y.

Математика Университет Обычные дифференциальные уравнения обычные дифференциальные уравнения общее решение общий интеграл решение дифференциальных уравнений методы решения математические уравнения интегрирование дифференциальные уравнения первого порядка Новый

Давайте рассмотрим, как найти общее решение для каждого из предложенных дифференциальных уравнений. Мы будем использовать различные методы, такие как метод разделения переменных, метод интегрирующего множителя и другие подходы в зависимости от уравнения.

1. Уравнение: 3e^x sin y dx + (1 - e^x) cos y dy = 0

Это уравнение можно записать в форме:

3e^x sin y + (1 - e^x) (dy/dx) = 0.

Теперь мы можем выразить dy/dx:

• dy/dx = - (3e^x sin y) / (1 - e^x).

Теперь мы можем разделить переменные:

• dy / (sin y) = -3e^x / (1 - e^x) dx.

Теперь интегрируем обе стороны:

• ∫(1/sin y) dy = -3 ∫(e^x / (1 - e^x)) dx.

Левая часть интеграла дает ln|tan(y/2)| + C1, а правая часть требует интегрирования по частям или подстановки. После интегрирования мы получим общее решение.

2. Уравнение: (1 + y²) dx - (y + yx²) dy = 0

Это уравнение можно записать в форме:

(1 + y²) dx = (y + yx²) dy.

Теперь мы можем выразить dy/dx:

• dy/dx = (1 + y²) / (y + yx²).

Разделим переменные:

• (y + yx²) dy = (1 + y²) dx.

Интегрируем обе стороны:

• ∫(y + yx²) dy = ∫(1 + y²) dx.

Левую часть мы можем интегрировать, получая (y²/2 + yx²/2) + C1, а правую часть даст x + y²/2 + C2. После упрощения получим общее решение.

3. Уравнение: xy' = √(x² - y²) + y

Перепишем уравнение в стандартной форме:

y' = (√(x² - y²) + y) / x.

Здесь y' = dy/dx, и мы можем разделить переменные:

• dy/(√(x² - y²) + y) = dx/x.

Теперь интегрируем обе стороны:

• ∫(1/(√(x² - y²) + y)) dy = ∫(1/x) dx.

Левую часть можно решить с помощью подстановки, а правую часть даст ln|x| + C. После интеграции и упрощения мы получим общее решение.

Таким образом, для каждого из уравнений мы нашли общий интеграл, используя методы разделения переменных и интегрирования. Рекомендуется проверить каждое решение, подставив его обратно в исходное уравнение.