Для решения данного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, мы будем следовать нескольким шагам. Начнем с нахождения общего решения однородного уравнения, затем найдем частное решение неоднородного уравнения и, наконец, применим начальные условия для нахождения конкретного решения.

Сначала рассмотрим однородное уравнение:

y'' + 10y' + 34y = 0.

Для этого уравнения мы найдем характеристическое уравнение:

r^2 + 10r + 34 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 * 1 * 34 = 100 - 136 = -36.

Поскольку дискриминант отрицательный, у нас будут комплексные корни:

r = (-b ± √D) / 2a = (-10 ± √(-36)) / 2 = -5 ± 3i.

Таким образом, корни имеют вид:

r1 = -5 + 3i, r2 = -5 - 3i.

Общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

y_h(x) = e^(-5x)(C1 * cos(3x) + C2 * sin(3x)),

где C1 и C2 - произвольные константы.

Теперь мы ищем частное решение для неоднородного уравнения:

y'' + 10y' + 34y = -9e^(-5x).

Поскольку правая часть уравнения имеет вид -9e^(-5x), и e^(-5x) уже присутствует в общем решении однородного уравнения, мы попробуем следующее частное решение:

y_p(x) = x * e^(-5x)(A),

где A - константа, которую мы определим позже.

Теперь найдем производные y_p:

• y_p' = e^(-5x)(A - 5Ax),
• y_p'' = e^(-5x)(-10A + 15Ax).

Теперь подставим y_p, y_p' и y_p'' в исходное уравнение:

e^(-5x)(-10A + 15Ax) + 10e^(-5x)(A - 5Ax) + 34xe^(-5x)(A) = -9e^(-5x).

Упростим это уравнение:

e^(-5x)(-10A + 15Ax + 10A - 50Ax + 34Ax) = -9e^(-5x).

Соберем подобные слагаемые:

e^(-5x)(-10A + (15A - 50A + 34A)x) = -9e^(-5x).

Приравняем коэффициенты:

• Для свободного члена: -10A = -9, отсюда A = 0.9.
• Для коэффициента при x: (15 - 50 + 34)A = 0, что выполняется для любого A.

Таким образом, частное решение будет:

y_p(x) = 0.9x * e^(-5x).

Теперь мы можем записать общее решение неоднородного уравнения:

y(x) = y_h(x) + y_p(x) = e^(-5x)(C1 * cos(3x) + C2 * sin(3x)) + 0.9x * e^(-5x).

Теперь применим начальные условия:

y(0) = 0 и y'(0) = 6.

Подставим x = 0 в общее решение:

y(0) = e^(0)(C1 * cos(0) + C2 * sin(0)) + 0.9 * 0 * e^(0) = C1 = 0.

Теперь подставим C1 в общее решение:

y(x) = e^(-5x)(C2 * sin(3x)) + 0.9x * e^(-5x).

Теперь найдем производную y'(x) и подставим x = 0:

y'(x) = -5e^(-5x)(C2 * sin(3x)) + e^(-5x)(3C2 * cos(3x)) + 0.9e^(-5x) - 0.9 * 5x * e^(-5x).

Подставляем x = 0:

y'(0) = -5C2 + 3C2 + 0.9 = 6.

Таким образом, -2C2 + 0.9 = 6, откуда C2 = -2.55.

Теперь подставим C2 обратно в общее решение:

y(x) = e^(-5x)(-2.55 * sin(3x)) + 0.9x * e^(-5x).

Итак, частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям, имеет вид:

y(x) = e^(-5x)(-2.55 * sin(3x) + 0.9x).