Давайте разберем, как доказать равенство (a^z)' = a^z ln a, где a - положительное число, а z - комплексное число. Это равенство описывает производную функции, заданной в виде степени.

Шаг 1: Определим функцию

Мы начинаем с определения функции:

f(z) = a^z.

Здесь a - положительное число, а z - комплексное число. Мы можем переписать a^z в экспоненциальной форме:

f(z) = e^(z ln a).

Шаг 2: Найдем производную

Теперь мы можем найти производную функции f(z) по z. Используем правило производной для экспоненты:

• Если f(z) = e^(g(z)), то f'(z) = g'(z) * e^(g(z)).

В нашем случае g(z) = z ln a, следовательно, g'(z) = ln a.

Шаг 3: Применим правило производной

Теперь подставим g(z) и g'(z) в формулу:

f'(z) = g'(z) * e^(g(z)) = ln a * e^(z ln a).

Шаг 4: Подставим обратно в исходное выражение

Мы знаем, что e^(z ln a) = a^z, поэтому:

f'(z) = ln a * a^z.

Шаг 5: Запишем окончательный результат

Таким образом, мы получаем:

(a^z)' = a^z ln a.

Это и было требуемое равенство, что и следовало доказать.