Давайте разберем, как выразить действительную и мнимую части, а также модуль функции f(z) = cos(z) через функции действительного аргумента.

Для начала, вспомним, что комплексная функция косинуса может быть выражена через экспоненциальные функции:

cos(z) = (e^(iz) + e^(-iz)) / 2

Теперь, если z является комплексным числом, то его можно записать в виде:

z = x + iy,

где x и y - действительная и мнимая части соответственно.

Подставим z в выражение для косинуса:

cos(z) = cos(x + iy).

Используя формулу для косинуса суммы, получаем:

cos(x + iy) = cos(x)cos(iy) - sin(x)sin(iy).

Теперь, заметим, что:

cos(iy) = cosh(y) (гиперболический косинус),

sin(iy) = i sinh(y) (гиперболический синус).

Подставим эти значения в выражение:

cos(x + iy) = cos(x)cosh(y) - sin(x)(i sinh(y)).

Теперь мы можем выделить действительную и мнимую части:

• Действительная часть: Re(f(z)) = cos(x)cosh(y)
• Мнимая часть: Im(f(z)) = -sin(x)sinh(y)

Теперь найдем модуль функции:

Модуль комплексного числа z = a + bi определяется как:

|z| = sqrt(a^2 + b^2.

В нашем случае:

|f(z)| = sqrt((Re(f(z)))^2 + (Im(f(z)))^2)

Подставим найденные значения:

|f(z)| = sqrt((cos(x)cosh(y))^2 + (-sin(x)sinh(y))^2).

Упрощая, получаем:

|f(z)| = sqrt(cos^2(x)cosh^2(y) + sin^2(x)sinh^2(y)).

Таким образом, мы выразили действительную часть, мнимую часть и модуль функции cos(z) через функции действительного аргумента:

• Действительная часть: Re(f(z)) = cos(x)cosh(y)
• Мнимая часть: Im(f(z)) = -sin(x)sinh(y)
• Модуль: |f(z)| = sqrt(cos^2(x)cosh^2(y) + sin^2(x)sinh^2(y))