Делимость и кратные числа — одна из фундаментальных тем алгебры, от которой зависят умения упрощать выражения, сокращать дроби, находить наименьшие общие кратные и наибольшие общие делители, решать задачи на цикличность и периодичность. В 10 классе важно не просто выучить определения, а научиться рассуждать, видеть структуру числа, грамотно применять признаки делимости и алгоритмы. В этом объяснении мы системно разберем ключевые понятия, свойства и приемы, дополним их примерами и типовыми задачами уровня школьной программы и подготовки к экзаменам.

Начнем с базовой терминологии. Говорят, что число b кратно a, если существует целое число k такое, что b = a·k. В этом случае также говорят, что a является делителем b, и пишут: «a делит b». Например, 24 кратно 6, потому что 24 = 6·4; значит, 6 — делитель 24. При этом 24 имеет несколько делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Числа, которые имеют ровно два делителя (1 и само число), называют простыми (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и т.д.). Числа, имеющие более двух делителей, — составные. Понимание того, из каких простых множителей «собрано» число, лежит в основе большинства методов в теме делимости.

Критически важно помнить формулировку теоремы о целочисленном делении: любое целое число n можно представить в виде n = q·m + r, где q — частное, r — остаток при делении n на m, а 0 ≤ r < m. Число n делится на m без остатка тогда и только тогда, когда r = 0. Эта идея помогает переводить высказывания о делимости в эквивалентные утверждения о видах остатков. Например, утверждение «число делится на 2» равносильно «остаток при делении на 2 равен 0», то есть число четное.

Перечислим ключевые свойства делимости, которые часто используются в рассуждениях и доказательствах:

• Если a делит b и a делит c, то a делит (b + c) и (b − c). Обоснование: b = a·k, c = a·m, значит b ± c = a·(k ± m), что кратно a.
• Если a делит b, то a делит b·c для любого целого c. Это очевидно из представления b = a·k: b·c = a·(k·c).
• Если a делит b и b делит c, то a делит c (транзитивность). Действительно, b = a·k, c = b·m = a·(k·m).
• Если a делит b и a делит (b·c), то вообще говоря это не означает, что a делит c (контрпример: a = 6, b = 6, c = 1 — верно; но если b = 0, вывод не информативен). Однако если числа a и b взаимно простые (их наибольший общий делитель равен 1), то из a делит b·c следует, что a делит c.
• Любой делитель числа b не превосходит по модулю |b|. Если d делитель b, то и (b/d) — делитель b, то есть делители идут «парами».

Для быстрого анализа часто применяют признаки делимости. Они экономят время в вычислениях и помогают без длинных делений понять, делится ли число на заданное основание. Запомнить их можно через структуру записи числа в десятичной системе и свойства остатков.

• На 2: число оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8 (четное).
• На 5: последняя цифра 0 или 5.
• На 10: последняя цифра 0; на 100 — последние две цифры 00; на 1000 — три нуля и т.д.
• На 3: сумма цифр делится на 3. Пример: 12 978, сумма цифр 1+2+9+7+8=27, 27 делится на 3, значит делится и число.
• На 9: сумма цифр делится на 9. Пример: 18 963, сумма цифр 1+8+9+6+3=27, 27 делится на 9.
• На 6: число делится на 2 и на 3 одновременно.
• На 4: последние две цифры образуют число, делящееся на 4. Пример: 7 432 → 32 делится на 4.
• На 8: последние три цифры образуют число, делящееся на 8. Пример: 56 296 → 296 делится на 8.
• На 11: разность суммы цифр на нечетных местах и суммы цифр на четных местах делится на 11 (включая 0). Пример: 3 674 → (3+7) − (6+4) = 10 − 10 = 0, делится на 11.
• На 12: одновременно на 3 и на 4.
• На 15: одновременно на 3 и на 5.
• На 18: одновременно на 2 и на 9.

Иногда спрашивают о делимости на 7. Универсального «короткого» признака, подобного сумме цифр, здесь нет, но есть рабочий прием: выделяйте последние три цифры и заменяйте их равным по остатку числом, кратным 7, или используйте итеративное правило: отделить последнюю цифру, удвоить ее и вычесть из числа без последней цифры; повторять до удобства. Пример: 2 821: отделяем 1, удваиваем 2, получаем 282 − 2 = 280, оно кратно 7, значит 2 821 делится на 7. Этот метод полезен в задачах, где требуется быстро подтвердить делимость без полного деления.

Центральный инструмент темы — разложение на простые множители. По основной теореме арифметики, любое натуральное число больше 1 раскладывается единственным образом (с точностью до порядка множителей) на произведение простых чисел. Разложение позволяет сразу видеть делители, кратные, а также вычислять НОД (наибольший общий делитель) и НОК (наименьшее общее кратное). Например, разложим 360: делим на 2 — 180, снова на 2 — 90, еще на 2 — 45, затем на 3 — 15, на 3 — 5, и на 5 — 1. Получили 360 = 2·2·2·3·3·5 = 2^3·3^2·5. Любой делитель 360 имеет вид 2^a·3^b·5^c, где 0 ≤ a ≤ 3, 0 ≤ b ≤ 2, 0 ≤ c ≤ 1. Отсюда легко находить количество делителей: (3+1)(2+1)(1+1) = 24.

Рассмотрим нахождение НОД и НОК через разложение. Пусть числа разлагаются так: 756 = 2^2·3^3·7 и 840 = 2^3·3·5·7. Тогда НОД — произведение простых в минимальных степенях: 2^2·3^1·7 = 4·3·7 = 84. НОК — произведение в максимальных степенях: 2^3·3^3·5·7 = 8·27·5·7 = 7 560. Связь между НОД и НОК для двух чисел: произведение чисел равно произведению их НОД и НОК. Для приведенных чисел 756·840 = 84·7 560 — это верно и удобно для проверки.

Однако не всегда быстро удается разложить числа, особенно большие. Здесь незаменим алгоритм Евклида — быстрый способ найти НОД через последовательные деления с остатком. Пример: найти НОД(252, 198). Делим 252 на 198: получаем 1 и остаток 54 (252 = 198·1 + 54). Далее делим 198 на 54: 3 и остаток 36 (198 = 54·3 + 36). Затем 54 на 36: 1 и остаток 18 (54 = 36·1 + 18). Наконец, 36 на 18: остаток 0, значит НОД равен последнему ненулевому остатку — 18. После НОД легко найти НОК по формуле: НОК = (a·b) / НОД. Для 252 и 198 получаем НОК = (252·198)/18 = (252·11) = 2 772.

Взаимосвязанная идея — взаимная простота чисел. Два числа называют взаимно простыми, если их НОД равен 1. Например, 8 и 15 взаимно просты. Для взаимно простых чисел справедливо, что НОК равен их произведению, а если a и b взаимно просты и a делит b·c, то a делит c. Эта последняя формулировка часто используется при доказательствах и решениях уравнений в целых числах. В частности, в задачах на линейные диофантовы уравнения вида ax + by = c решение существует тогда, когда НОД(a, b) делит c; структура всех решений строится на свойствах НОД и линейных комбинаций.

Задачи на общие кратные часто встречаются в приложениях: сход кораблей по расписанию, совместная работа механизмов, повторение периодов. Пример: автобус ходит каждые 12 минут, троллейбус — каждые 18 минут. Начали одновременно. Через сколько минут они снова будут вместе на остановке? Искомый момент — наименьшее общее кратное 12 и 18. Разложим: 12 = 2^2·3, 18 = 2·3^2. НОК = 2^2·3^2 = 36 минут. Этот подход универсален: найдя разложения, берем максимальные степени всех простых множителей. Аналогично для трех и более чисел: НОК берется по максимальным степеням среди всех разложений, а НОД — по минимальным (в тех простых, которые встречаются во всех числах).

Отдельно обратим внимание на кратные и делители в задачах на количество. Если нужно посчитать, сколько чисел от 1 до N делятся на k, достаточно вычислить целую часть от N/k. Если нужно найти количество чисел, делящихся на 2 или на 3, применяют принцип включения-исключения: делящихся на 2 — [N/2], делящихся на 3 — [N/3], но делящиеся на 6 посчитаны дважды, поэтому вычитаем [N/6]. Этот метод часто используют в комбинаторных оценках и при анализе плотности кратных.

Покажу пошаговые разборы типовых задач, где требуется аккуратно применить теорию:

1. Задача: Докажите, что сумма трех последовательных натуральных чисел делится на 3. Решение: пусть числа n, n+1, n+2. Сумма равна 3n+3 = 3(n+1), то есть кратна 3. Такой подход — классика: сгруппировали, вынесли общий множитель, получили признак делимости.
2. Задача: Докажите, что квадрат любого нечетного числа имеет вид 8k+1. Решение: нечетное число имеет вид 2m+1. Квадрат равен 4m^2 + 4m + 1 = 4m(m+1) + 1. Среди m и m+1 одно четное, значит произведение m(m+1) делится на 2, то есть 4m(m+1) делится на 8. Следовательно, квадрат равен 8k+1. Вывод: квадрат нечетного числа при делении на 8 дает остаток 1.
3. Задача: Найдите НОД чисел 1 386 и 594. Решение (алгоритм Евклида): 1 386 = 594·2 + 198; 594 = 198·3 + 0, значит НОД = 198. Для проверки: 1 386/198 = 7, 594/198 = 3.
4. Задача: Сократите дробь 378/630. Решение: найдем НОД(378, 630). Разложим: 378 = 2·3^3·7, 630 = 2·3^2·5·7. НОД = 2·3^2·7 = 126. Делим числитель и знаменатель на 126: получаем 3/5.
5. Задача: Найдите наименьшее число, кратное 45 и 84. Решение: ищем НОК. Разложения: 45 = 3^2·5, 84 = 2^2·3·7. НОК = 2^2·3^2·5·7 = 4·9·5·7 = 1 260.

Распространенные ошибки и как их избежать:

• Путаница между НОД и НОК. НОД всегда меньше либо равен меньшему из чисел, НОК — не меньше большего. Если получился НОК меньше исходных чисел — это сигнал проверить вычисления.
• Неполное разложение. В разложении на простые множители важно дойти до конца: если после делений остался составной множитель (например, 21), его тоже нужно разложить (21 = 3·7).
• Слепое применение признаков. Помните, что на 6 число делится, только если одновременно делится на 2 и на 3. Проверка только одного из условий недостаточна.
• Игнорирование взаимной простоты. Если в доказательстве встречается «a делит b·c», проверяйте, не взаимно ли просты a и b — это часто ключ к выводу «a делит c».
• Неверная работа с остатками. Остаток всегда должен быть от 0 до m−1. Если при ручных расчетах получился остаток равный m или больше — значит, вы недоделили.

Полезно уметь быстро проверять делимость больших чисел, комбинируя признаки. Например, число 151 200 делится на 8? Смотрим последние три цифры: 200 делится на 8 (поскольку 200/8 = 25), значит делится. Делится ли оно на 9? Сумма цифр: 1+5+1+2+0+0 = 9 — да. Тогда сразу ясно, что оно делится на 72 (так как делится на 8 и на 9, а они взаимно просты), и, следовательно, делится на 144, если дополнительно делится на 2. Последняя цифра 0 — делится. То есть 151 200 кратно 144. Такие рассуждения встречаются в задачах на нахождение множителей или на упрощение выражений с большими числами.

Отдельный прием — оценка количества делителей. Пусть дано число 2^5·3^2·5^1·7^3. Число делителей равно (5+1)(2+1)(1+1)(3+1) = 6·3·2·4 = 144. Если требуется найти сумму делителей, можно воспользоваться формулой произведения сумм геометрических прогрессий: для простого p в степени a сумма делителей по этому простому равна 1 + p + p^2 + ... + p^a; затем перемножаем по всем простым. Хотя эта формула выходит за рамки базовой практики, она нередко встречается в задачах повышенной сложности.

Значимая связь делимости с дробями: сокращение дробей — это деление числителя и знаменателя на их НОД. Поэтому умение находить НОД напрямую влияет на умение быстро приводить дроби к несократимому виду. Пример: 672/840. НОД можно найти через алгоритм Евклида или разложением: 672 = 2^5·3·7, 840 = 2^3·3·5·7. НОД = 2^3·3·7 = 168. Делим: 672/840 = (672/168)/(840/168) = 4/5. Любое другое сокращение по частям (сначала на 2, потом на 3 и т.д.) также приведет к 4/5, но НОД позволяет сделать это сразу.

Идеи делимости пронизывают и текстовые задачи. Пример контекстной задачи: есть три мигающих маяка, которые загораются каждые 12, 20 и 30 секунд соответственно. Через сколько секунд они вспыхнут одновременно, если только что вспыхнули вместе? Ищем НОК(12, 20, 30). Разложения: 12 = 2^2·3, 20 = 2^2·5, 30 = 2·3·5. НОК = 2^2·3·5 = 60 секунд. Такой тип задач особенно полезен для тренировки работы с кратными.

Связь с остатками даёт удобные модульные рассуждения без сложной символики. Например, если известно, что число x оставляет остаток 2 при делении на 3, то сумма десяти таких чисел оставит остаток 20 при делении на 3, а 20 эквивалентно остатку 2 (потому что 20 = 3·6 + 2). Отсюда легко оценивать остатки сумм и произведений, не выполняя громоздких вычислений. Так, если a дает остаток 1 при делении на 5, а b дает остаток 3 при делении на 5, то произведение ab дает остаток 3 при делении на 5 (1·3 = 3). Эти правила экономят время при решении задач уровня ЕГЭ по теме «Теория чисел. Делимость».

Чтобы закрепить материал, предлагаю еще несколько тренировочных примеров с детальными комментариями:

1. Проверить, делится ли число 7 425 на 11. Складываем цифры на нечетных позициях: 7 + 2 + 5 = 14. На четных: 4 + 5 = 9. Разность 14 − 9 = 5. Поскольку 5 не делится на 11, исходное число не кратно 11.
2. Найти все делители числа 540. Разложим: 540 = 54·10 = (2·3^3)·(2·5) = 2^2·3^3·5. Все делители имеют вид 2^a·3^b·5^c, где a ∈ {0,1,2}, b ∈ {0,1,2,3}, c ∈ {0,1}. При необходимости можно выписать их по возрастанию, варьируя показатели степеней.
3. Найти НОК(48, 180). Разложим: 48 = 2^4·3, 180 = 2^2·3^2·5. НОК = 2^4·3^2·5 = 16·9·5 = 720.
4. Доказать, что произведение трех последовательных натуральных чисел делится на 6. Среди трех подряд всегда есть четное (делится на 2) и хотя бы одно кратно 3. Значит произведение делится на 2 и на 3, следовательно делится на 6.
5. Сколько чисел от 1 до 1 000 делятся на 7 или на 11? Чисел, кратных 7: [1000/7] = 142; кратных 11: [1000/11] = 90; кратных 77 (чтобы не считать дважды): [1000/77] = 12. Ответ: 142 + 90 − 12 = 220.

Советы по стратегии решения задач:

• Сначала «разберите» число на простые множители, если задача явно про делители, кратные, НОД или НОК. Это раскроет структуру и упростит дальнейшие шаги.
• Если числа велики, применяйте алгоритм Евклида к НОД и формулу НОК = (a·b)/НОД, чтобы избежать громоздких разложений.
• Используйте признаки делимости, чтобы быстро отсечь невозможные варианты или сузить поиск.
• Помните о парности и остатках: проверка по модулю 2, 3, 4, 5, 9 часто сразу решает задачу.
• В текстовых задачах с повторяющимися событиями искомое время — это НОК промежутков; для «встреч» на циклах — тоже НОК.

Для расширения кругозора полезно знать, что многие олимпиадные задачи по теории чисел строятся на комбинации простых идей: свойства делимости суммы и разности, взаимная простота, рассуждения по остаткам, хитрые разложения. Например, задача: докажите, что число 5^n − 2^n делится на 3 при любом натуральном n. Действительно, 5 и 2 дают одинаковый остаток 2 при делении на 3, а значит 5^n и 2^n дают одинаковые остатки, их разность кратна 3. Такой прием позволит вам уверенно решать задачи на доказательство делимости без тяжелых вычислений.

Итак, тема «делимость и кратные числа» объединяет несколько взаимосвязанных блоков: признаки делимости, структуру числа через простые множители, алгоритмические методы поиска НОД и НОК, работу с остатками и взаимной простотой, а также практические приложения в задачах на периодичность и подсчет. Освоив эти элементы и научившись свободно переходить от одного к другому, вы сможете уверенно решать широкий класс заданий алгебры 10 класса и уверенно чувствовать себя на экзаменах. Закрепляйте материал регулярной практикой: решайте задачи на разложение, НОД и НОК, проверку делимости, ищите закономерности в остатках — и тема станет для вас естественным инструментом математического мышления.