Тригонометрические функции функции — это ситуации, когда аргументом синуса, косинуса, тангенса или котангенса выступает не просто переменная x, а некоторая функция f(x). Иначе говоря, мы рассматриваем составные функции вида y = sin(f(x)), y = cos(g(x)), y = tg(h(x)), y = ctg(q(x)). Такой подход чрезвычайно важен: он помогает строить графики сложных выражений, определять область определения и значения, исследовать периодичность и симметрию, а также решать тригонометрические уравнения и неравенства с помощью стратегической подстановки. В 11 классе именно эти идеи позволяют уверенно работать с преобразованиями графиков, параметрами модели A sin(ωx + φ) + B и более общими конструкциями, где внутренняя функция уже не линейная, а, например, квадрат, логарифм или дробно-рациональное выражение.

Начнем с базовых свойств, которые переносятся на составную функцию. Для простых тригонометрических функций справедливо: sin и cos определены для всех действительных x, принимают значения в отрезке [-1; 1] и имеют период 2π; tg и ctg определены не во всех точках (у них есть вертикальные асимптоты), принимают любые действительные значения и имеют период π. Если мы рассматриваем, к примеру, y = sin(f(x)), то область определения новой функции — это вся область, где определена f(x). Для y = tg(f(x)) и y = ctg(f(x)) важно учесть дополнительное ОДЗ: мы должны исключить те x, при которых f(x) попадает в точки разрыва тангенса и котангенса. Поэтому всегда составляем ОДЗ, сочетая ограничения внутренней функции и ограничения базовой тригонометрической функции.

• Для y = sin(f(x)) и y = cos(f(x)) область определения совпадает с областью определения f(x). Область значений — соответственно [-1; 1], а после вертикального масштабирования A sin(f(x)) или A cos(f(x)) — интервал [-|A|; |A|], потом добавляется вертикальный сдвиг B, дающий [B - |A|; B + |A|].
• Для y = tg(f(x)) область определения — все x из области определения f(x) при условии f(x) ≠ π/2 + πk, k ∈ Z. Область значений — вся числовая прямая, а при A·tg(f(x)) — также вся R; вертикальный сдвиг B смещает график вверх/вниз, но не ограничивает значения.
• Для y = ctg(f(x)) аналогично: требуется f(x) ≠ πk, k ∈ Z. Остальные рассуждения — как у тангенса.

Ключевой вопрос — периодичность составной функции. Если внутренняя функция линейна, f(x) = ax + b, то период легко пересчитывается. Для y = sin(ax + b) и y = cos(ax + b) период равен 2π/|a|, для y = tg(ax + b) и y = ctg(ax + b) — π/|a|. Если же внутренняя функция нелинейная, например f(x) = x^2 или f(x) = ln x, классическая периодичность может исчезнуть или приобрести нетривиальный характер. Общая идея такова: y = sin(f(x)) будет иметь период T, если для любого x выполняется f(x + T) = f(x) + 2πm с одним и тем же целым m. Для косинуса условие то же самое, а для тангенса и котангенса — f(x + T) = f(x) + πm. Это удобный критерий: если внутренняя функция не удовлетворяет подобному соотношению, периодичности не будет.

Очень удобно рассматривать составные тригонометрические функции сначала на примере классической модели y = A·sin(ωx + φ) + B (или косинуса). Здесь A — амплитуда (вертикальный масштаб), ω — угловая частота (задает период T = 2π/|ω|), φ — фаза (величина горизонтального сдвига, равная φ/ω при ω ≠ 0), B — вертикальный сдвиг (сдвигает среднюю линию графика y = 0 вверх/вниз). Знак A отвечает за зеркальное отражение относительно средней линии: при A < 0 вершины и впадины меняются местами. Эти четыре параметра полностью описывают преобразование базового графика синуса или косинуса и формируют инструментарий для уверенного построения.

1. Построим шаг за шагом график y = 2·sin(3x − π/6) + 1. Определим параметры: A = 2, ω = 3, φ = −π/6, B = 1.
2. Амплитуда |A| = 2: график синуса будет колебаться между y = 1 − 2 и y = 1 + 2, то есть от −1 до 3.
3. Период T = 2π/|ω| = 2π/3: за длину 2π/3 по оси x функция делает один полный цикл.
4. Горизонтальный сдвиг равен φ/ω = (−π/6)/3 = −π/18, то есть сдвиг вправо на π/18 (помним, что sin(3x − π/6) = sin(3(x − π/18))).
5. Вертикальный сдвиг B = 1: средняя линия графика — прямая y = 1.
6. Строим базовый синус на отрезке длины периода, затем растягиваем вертикально в 2 раза, сжимаем горизонтально в 3 раза, смещаем вправо на π/18 и поднимаем на 1. Отмечаем характерные точки: начало периода, четверти периода, вершины и нули, чтобы получить аккуратный график.

Теперь пример с нелинейной внутренней функцией — y = cos(x^2). Здесь область определения — все действительные x, так как x^2 определено для любых x, а у косинуса нет ограничений по аргументу. Область значений — отрезок [-1; 1]. Периодичность исчезает, ведь нет такого T, чтобы (x + T)^2 − x^2 было одной и той же постоянной кратной 2π для всех x. Однако график по-прежнему четный, потому что cos — четная функция, а x^2 — тоже четная: cos((−x)^2) = cos(x^2). Интересный эффект: по мере увеличения |x| аргумент x^2 растет быстрее, колебания становятся более «частыми» — график как бы «уплотняется» к бесконечности.

Другой интересный пример — y = sin(ln x). Область определения: x > 0 (требование логарифма). Область значений — как у синуса, [-1; 1]. Стандартной периодичности по x нет, однако проявляется квазипериодичность по логарифмической шкале: sin(ln(x·e^{2π})) = sin(ln x + 2π) = sin(ln x). Это означает, что функция повторяет свои значения при умножении x на e^{2π}. Такая «мультипликативная периодичность» встречается в задачах на моделирование и хорошо демонстрирует, как внутренняя функция может нестандартно влиять на поведение тригонометрической.

Очень важны симметрии и четность/нечетность составных функций. Напомним: sin — нечетная, cos — четная, tg и ctg — нечетные. Если f(x) — нечетная, то sin(f(−x)) = sin(−f(x)) = −sin(f(x)) — получаем нечетную функцию. Если f(x) — четная, sin(f(−x)) = sin(f(x)) — четная. Для косинуса наоборот: cos(f(−x)) = cos(f(x)) при четной f(x), и вообще cos не меняет знак при замене аргумента на противоположный. В более общем случае вопрос четности составной функции сводится к свойствам f и базовой тригонометрической. Симметрии отражаются на графике: четная функция симметрична относительно оси Oy, нечетная — относительно начала координат.

Перейдем к решению составных тригонометрических уравнений. Универсальная идея — подстановка t = f(x). Скажем, требуется решить sin(f(x)) = a. Сначала решаем базовое уравнение sin t = a, получаем общий вид решений по t, затем возвращаемся к переменной x, решая f(x) = t для каждого семейства значений t, не забывая про ОДЗ исходной задачи. При этом важно помнить множественность решения базового тригонометрического уравнения и корректно расписывать все ветви.

• Пример 1. Решить sin(2x + π/3) = 1/2 на множестве действительных x. Введем t = 2x + π/3. Решения sin t = 1/2: t = π/6 + 2πk или t = 5π/6 + 2πk, k ∈ Z. Возвращаемся к x:
  • 2x + π/3 = π/6 + 2πk ⇒ 2x = π/6 − π/3 + 2πk = −π/6 + 2πk ⇒ x = −π/12 + πk.
  • 2x + π/3 = 5π/6 + 2πk ⇒ 2x = 5π/6 − π/3 + 2πk = 5π/6 − 2π/6 + 2πk = π/2 + 2πk ⇒ x = π/4 + πk.
  Итог: x = −π/12 + πk или x = π/4 + πk, k ∈ Z.
• Пример 2. Решить tg(3x − 1) = √3. Подставим t = 3x − 1. Знаем: tg t = √3 ⇒ t = π/3 + πk, k ∈ Z. Тогда 3x − 1 = π/3 + πk ⇒ x = (1 + π/3 + πk)/3. Здесь обязательно упоминаем ОДЗ для тангенса, но так как мы использовали общий вид решения tg t = √3 уже с учетом периодичности, дополнительных ограничений кроме определения 3x − 1 не требуется.
• Пример 3. Решить cos(3x^2 − 1) = 0. Пусть t = 3x^2 − 1. Тогда cos t = 0 ⇒ t = π/2 + πk, k ∈ Z. Получаем квадратное уравнение: 3x^2 − 1 = π/2 + πk ⇒ x^2 = (π/2 + 1 + πk)/3. Значит, x = ±√((π/2 + 1 + πk)/3), при условии, что выражение под корнем неотрицательно. Это дает нам бесконечное дискретное множество решений, соответствующее допустимым целым k.

Рассмотрим также составные неравенства. Общий подход — либо перейти к t = f(x) и работать с тригонометрической функцией на известных промежутках монотонности, либо использовать графический метод, повышая наглядность. Важный прием — при линейной внутренней функции сводить задачу к преобразованию интервалов.

• Пример 4. Решить неравенство sin(2x − π/4) ≥ 1/2 на отрезке [0; 2π]. Вводим t = 2x − π/4. Тогда при x ∈ [0; 2π] переменная t пробегает от t_min = −π/4 до t_max = 4π − π/4 = 15π/4. Теперь решаем sin t ≥ 1/2 на интервале [−π/4; 15π/4]. Знаем, что sin t ≥ 1/2 на отрезках [π/6 + 2πn; 5π/6 + 2πn]. Перебираем нужные n так, чтобы эти отрезки пересекались с [−π/4; 15π/4], затем возвращаемся к x по формуле x = (t + π/4)/2. На практике удобно начертить ось t, отметить границы и стандартные дуги, а затем перенести ответ в переменную x. Такой алгоритм снимает большинство ошибок со сдвигом и периодами.

Отдельно подчеркнем контроль ОДЗ при tg и ctg в составных выражениях. Например, функция y = tg(1/(x − 1)) требует x ≠ 1 (из-за знаменателя) и одновременно 1/(x − 1) ≠ π/2 + πk, k ∈ Z (из-за асимптот тангенса). В задачах на уравнения эти ограничения либо отражаются в построении общего решения, либо задают исключаемые точки, которые важно не потерять. Аналогичные осторожности действуют и для ctg(f(x)): нужно исключить уравнение f(x) = πk.

Графические преобразования составных тригонометрических функций удобно воспринимать как последовательность операций: внутренняя функция отвечает за горизонтальное сжатие/растяжение и сдвиг (а в общем случае — за нелинейную деформацию оси x), внешние коэффициенты A и B обеспечивают вертикальный масштаб и сдвиг, знак A — отражение относительно средней линии. Если внутренняя функция линейна, график получается преобразованием привычной «волны». Если внутренняя функция нелинейна, форма может радикально меняться: исчезает периодичность, появляются «густеющие» колебания или участки с выколотыми точками (при tg/ctg). Полезно также анализировать монотонность на промежутках: у синуса и косинуса она чередуется на четвертях периода, а при линейном аргументе легко пересчитывается через коэффициент a.

Применение составных тригонометрических функций выходит далеко за рамки учебника: моделирование колебаний и волн часто использует выражения вида y = A(x)·sin(ωx + φ(x)), где A(x) — меняющаяся амплитуда, φ(x) — изменяющаяся фаза. В школьной задаче это выглядит как sin(f(x)) или cos(f(x)), где f(x) может быть полиномом, логарифмом, рациональной или иррациональной функцией. Понимание общей логики — как меняются область определения, периодичность, графические свойства — помогает грамотно интерпретировать и реальные процессы: биения, амплитудную и частотную модуляции, интерференционные картины.

• Типичные ошибки и как их избежать:
  • Забыто ОДЗ для tg(f(x)) и ctg(f(x)). Всегда выписывайте условия f(x) ≠ π/2 + πk или f(x) ≠ πk.
  • Неправильно рассчитан период при линейном аргументе. Помните формулы: для sin и cos — 2π/|a|, для tg и ctg — π/|a|.
  • Путаница со сдвигом φ: настоящий сдвиг по x равен φ/a, если аргумент ax + φ. Следите за знаком: ax − φ означает сдвиг вправо на φ/a.
  • Автоматическое предположение о периодичности при нелинейном f(x). Проверьте критерий f(x + T) = f(x) + 2πm (или πm для tg, ctg) — чаще всего периодичности нет.
  • Потеря решений при делении на cos(f(x)) или sin(f(x)) в процессе решения. Лучше использовать подстановку t = f(x) и известные общие решения базовых уравнений, избегая деления на выражения, которые могут равняться нулю.
  • Неверное масштабирование амплитуды: A влияет только на вертикаль, не меняя период; ω влияет только на горизонталь, не меняя диапазон значений.

Чтобы закрепить навык, рекомендуются два направления тренировки. Первое — построение графиков с последовательным применением преобразований: возьмите базовый синус/косинус и шаг за шагом применяйте масштабы, сдвиги, отражения; обязательно отмечайте ключевые точки — нули, максимумы, минимумы, четверти периода. Второе — решение уравнений и неравенств методом подстановки t = f(x) с аккуратной разверткой общих решений по t и последующим возвращением к x. В задачах уровня ЕГЭ это умение критично: оно позволяет уверенно обращаться с заданиями на составные аргументы, в том числе с параметрами.

Итак, тригонометрические функции функции — это естественное продолжение темы тригонометрии, связанное с композициями. Ключевые шаги всегда одни и те же: определить ОДЗ, оценить область значений и возможную периодичность, понять симметрии и монотонность, построить или хотя бы наметить график, а при решении уравнений и неравенств — компетентно использовать подстановку и общие решения базовых тригонометрических уравнений. Такой алгоритм обеспечивает надежность и быстроту — именно то, что необходимо на контрольных работах и экзаменах, и то, что делает тему не только понятной, но и практичной.