Изучая арифметику и алгебру, мы часто встречаемся с понятием квадратный корень. Это слово обозначает число, которое при умножении само на себя даёт заданное число. Если a·a = b, то a — это квадратный корень числа b. В школе под квадратным корнем обычно понимают неотрицательное значение — то есть корень выбирают положительным. Например, число 7 является квадратным корнем числа 49, потому что 7·7 = 49. Важно запомнить: корень берут только из неотрицательных чисел (в рамках начальной школы и без введения мнимых чисел).

Чтобы научиться извлекать квадратный корень, полезно знать несколько приёмов. Первый — это использование таблицы квадратов. Таблица квадратов маленьких натуральных чисел (1, 2, 3, …, 15 и т.д.) помогает быстро увидеть, является ли число полным квадратом. Например, 1²=1, 2²=4, 3²=9, 4²=16, 5²=25, 6²=36, 7²=49, 8²=64, 9²=81, 10²=100. Если число совпадает с одним из этих значений, то мы легко записываем корень: √36=6, √81=9. Такой приём удобен для первых тренировок и для проверки результатов.

Второй надёжный способ — это разложение на простые множители и правило пар. Если число представить в виде произведения простых факторов, то парные множители дают целую часть корня. Правило звучит так: расписываем число в виде множителей, группируем одинаковые множители по парам; из каждой пары один множитель выходит из-под знака корня. Рассмотрим пример: √180. Разложим 180 на простые множители: 180 = 2·2·3·3·5 = 2²·3²·5. Теперь каждую пару извлекаем наружу: из 2² выходит 2, из 3² выходит 3, а 5 остаётся под знаком. Получаем 2·3·√5 = 6√5. Таким образом √180 = 6√5 и это уже упрощённая форма.

Иногда число под знаком корня — полный квадрат, тогда корень будет целым числом. Рассмотрим несколько примеров с подробными шагами: 1) √144: разложим: 144 = 12·12, или 2⁴·3²; пары дают 2²·3 = 4·3 = 12, значит √144 = 12. 2) √72: разложение 72 = 2·2·2·3·3 = 2³·3². Пары: одна пара двойки и одна пара тройки даёт 2·3=6, а остаётся ещё одна двойка под знаком: √72 = 6√2. Эти приёмы позволяют упростить корни и легче сравнивать их между собой.

Для чисел, не являющихся полными квадратами, можно найти приближённое значение корня. Сначала находим соседние полные квадраты: например, для √50 соседние квадраты — 49 (7²) и 64 (8²). Значит √50 между 7 и 8. Чтобы уточнить приближение, можно пользоваться делением или простыми приближениями: 50 — 49 = 1, расстояние до следующего квадрата 64 — 49 = 15. Доля 1/15 ≈ 0.067, прибавляем к 7 даёт примерно 7.07, это близко к точному √50 ≈ 7.071. Такой метод даёт быстрое и понятное приближение без калькулятора.

Существует также классический школьный алгоритм извлечения квадратного корня "в столбик" — он похож на деление и пригоден для получения точного целого корня или точного десятичного приближения. Алгоритм работает так: 1) Разделите число на пары цифр, начиная с запятой (слева направо для целой части, справа налево для дробной). 2) Найдите наибольший квадрат, не превосходящий первую (левую) пару. 3) Выпишите корень первой пары — это первая цифра результата; вычтите квадрат из первой пары, затем опустите следующую пару цифр. 4) Удвоьте уже найденную часть корня, поставьте знак _x_ справа и найдите максимально возможную цифру, при умножении (удвоенная часть + x)·x не превышающей текущего остатка. 5) Повторяйте до тех пор, пока не получите желаемую точность. Приведу пример: √1521. Группируем: 15 | 21. Наибольший квадрат ≤15 — 3²=9, записываем 3. Остаток 15−9=6, опускаем 21 → 621. Удваиваем найденную цифру: 3→6. Ищем x: (60 + x)·x ≤ 621. Подходит x=9, потому что 69·9=621. Остаётся 0, значит √1521=39.

Помимо вычислений, важно знать несколько свойств квадратных корней, которые упрощают работу с ними в задачах: 1) √(a·b) = √a·√b для неотрицательных a и b; 2) √(a/b) = √a/√b при b>0; 3) квадратный корень числа всегда неотрицателен (в школьной программе): √a ≥ 0 при a ≥ 0. Эти свойства помогают при упрощении выражений и при решении уравнений. Например, √(36·25) = √36·√25 = 6·5 = 30.

Наконец, давайте разберёмся с частыми ошибками и советами. Новички иногда думают, что √(a + b) = √a + √b — это верное утверждение, но это неправильно. Простой пример: √(9 + 16) = √25 = 5, тогда как √9 + √16 = 3 + 4 = 7 — неравно 5. Поэтому нельзя раскладывать корень по сумме. Также полезно проверять результат: после вычисления корня возведите его в квадрат — вы должны получить исходное число (или число, близкое к нему при приближении). При упрощении корня всегда старайтесь вынести из-под знака квадраты (4, 9, 16, 25 и т.д.). И ещё: если корень получается дробным, используйте десятичные приближения и контролируйте точность по требованию задачи.

Для закрепления предлагаю несколько упражнений с ответами, которые помогут отработать разные приёмы:

• Найдите целые корни: √121, √196, √225. (Ответы: 11, 14, 15.)
• Упростите радикалы: √72, √200, √98. (Ответы: √72 = 6√2, √200 = 10√2, √98 = 7√2.)
• Приблизительно найдите: √20, √50, √2 (с точностью до трёх знаков после запятой). (Ответы: ≈4.472, ≈7.071, ≈1.414.)
• Извлеките корень "в столбик": √2025. (Решение: 2025 → 20|25, первая цифра 4 (4²=16), остаток 4, опускаем 25 → 425; удвоим 4→8, ищем x: (80+x)x≤425, x=5 (85·5=425). Итого √2025=45.)

Подводя итог, можно сказать, что извлечение квадратного корня — это совокупность простых приёмов: знание таблицы квадратов, умение разложить число на простые множители, применение алгоритма "в столбик" и приёмы приближения. Все эти методы дополняют друг друга: сначала пробуем таблицу, затем упрощаем радикал, а при необходимости переходим к точному алгоритму или численному приближению. Чем больше практики, тем увереннее вы будете решать задачи, проверять ответы и узнавать полезные закономерности в числах.