Степень — это удобная запись многократного умножения одного и того же числа. Если мы видим выражение a^n, то число a называют основанием степени, а число n — показателем степени. Например, 3^4 означает 3·3·3·3, то есть повторное умножение четвертого порядка, и равно 81. В повседневной практике часто встречаются слова «квадрат» и «куб»: квадрат числа — это степень со показателем 2 (например, 7^2), а куб — степень с показателем 3 (например, 2^3). Умение читать, понимать и вычислять выражения со степенями — обязательная часть курса «Алгебра, 7 класс». Ниже мы последовательно разберем правила, порядок действий и типичные ошибки, чтобы вычисления были уверенными и безошибочными.

Прежде чем приступать к вычислениям, важно помнить порядок действий в выражениях: сначала выполняются операции в скобках, затем — возведение в степень, после этого — умножение и деление (слева направо), и только потом — сложение и вычитание (также слева направо). Особое внимание уделяйте знакам и скобкам при работе с отрицательными числами. Например, запись -2^4 означает минус перед степенью: сначала 2^4 = 16, затем минус, итого -16. А запись (-2)^4 означает, что минус входит в основание степени: (-2)·(-2)·(-2)·(-2) = 16, так как четная степень делает произведение положительным. В то же время (-2)^5 = -32, потому что нечетная степень сохраняет отрицательный знак. Это ключевое различие, предотвращающее множество ошибок при вычислении степеней.

Работая со степенями, используем фундаментальные свойства степеней с одинаковым основанием. Если a — число, m и n — натуральные числа, справедливы правила: умножение степеней с одинаковым основанием: a^m · a^n = a^(m+n); деление степеней с одинаковым основанием (a ≠ 0): a^m : a^n = a^(m−n); степень степени: (a^m)^n = a^(m·n). Эти правила позволяют сокращать и упрощать выражения без длинных перемножений. Обратите внимание на нулевую степень: для любого a ≠ 0 верно a^0 = 1. Важные частные случаи: 1^n = 1 для любого n, а 0^n = 0 для любого натурального n. При этом выражение 0^0 не определено — его нельзя вычислять в рамках школьного курса.

Нередко встречаются ситуации, когда показатель степени относится к произведению или частному. В этих случаях работают правила: степень произведения: (ab)^n = a^n · b^n; степень дроби: (a/b)^n = a^n / b^n (при b ≠ 0). Очень важно не пытаться «распределять» степень по сумме или разности: (a + b)^n ≠ a^n + b^n в общем случае. Например, (2 + 3)^2 = 25, а 2^2 + 3^2 = 13 — очевидно, результаты разные. Зато для произведений и дробей свойства работают отлично, помогая быстро приводить выражения к простому виду. Эти правила — ядро темы «вычисление выражений с использованием степеней».

Рассмотрим показательное применение правил на конкретных вычислениях. Пример 1. Вычислить 2^5 · 5^3 : 10^2. Стратегия проста: заметим связь чисел 2, 5 и 10 через разложение на простые множители. Запишем 10^2 как (2·5)^2 = 2^2 · 5^2. Тогда наличие одинаковых оснований позволяет упростить: 2^5 · 5^3 : (2^2 · 5^2) = (2^5 : 2^2) · (5^3 : 5^2) = 2^(5−2) · 5^(3−2) = 2^3 · 5^1 = 8 · 5 = 40. Это решение демонстрирует, как с помощью свойств степеней сокращать показатели вместо прямых громоздких вычислений. Такой прием экономит время и снижает вероятность арифметической ошибки.

Пример 2. Вычислить (-3)^4 − 3^4 + 2·3^3. Сначала работаем со степенями: (-3)^4 = 81 (четная степень делает результат положительным), 3^4 = 81, 3^3 = 27. Подставляем: 81 − 81 + 2·27 = 0 + 54 = 54. Здесь хорошо видно, как четность показателя влияет на знак результата, а также как удобно учитывать порядок действий: сперва степени, затем умножение, и только потом сложение/вычитание. Такой пример укрепляет навык точной расстановки операций при вычислении выражений.

Пример 3. Вычислить (4^3 · 2^5) : 8^2 + (5^0 − 2^0) · 7^2. Разберем по частям. Во фрагменте (4^3 · 2^5) : 8^2 заметим, что 4 = 2^2, а 8 = 2^3. Тогда 4^3 = (2^2)^3 = 2^6, 2^5 — уже степень двойки, 8^2 = (2^3)^2 = 2^6. Получаем (2^6 · 2^5) : 2^6 = 2^(6+5−6) = 2^5 = 32. Второй фрагмент: 5^0 = 1, 2^0 = 1, значит (5^0 − 2^0) = 1 − 1 = 0. Тогда 0 · 7^2 = 0. Итак, вся сумма равна 32 + 0 = 32. Этот пример показывает, как полезно переводить числа к общему основанию, чтобы легко применять правила сложения и вычитания показателей.

Работа с дробями и десятичными числами часто упрощается через представление их в виде степеней простых чисел и степеней десятки. Например, 0,2 = 2/10 = 1/5, следовательно 0,2^3 = (1/5)^3 = 1/125. Число 2000 удобно понимать как 2 · 10^3, а 0,004 — как 4 · 10^−3 (в дальнейшем вы познакомитесь с отрицательными показателями степени, пока можно мыслить так: 0,004 = 4/1000). Благодаря свойству 10^n, которое просто «считает нули», удобно выполнять умножение и деление на степени десяти. Например, 35 · 10^2 = 3500, а 4,8 : 10^3 = 0,0048. В задачах 7 класса достаточно видеть связь между десятичной записью и степенью числа 10: множитель 10^n сдвигает запятую на n позиций вправо (при умножении) или влево (при делении).

Для надежного результата используйте рабочий алгоритм «вычисление выражений со степенями». Он помогает сохранять порядок и контролировать ошибки.

1. Прочитайте выражение, найдите все степени, определите, где есть скобки, произведения и дроби.
2. Сначала упростите выражения в скобках, если это возможно (с учетом порядка действий).
3. Выполните возведение в степень: вычислите простые степени и подготовьте к упрощению выражения вида a^m · a^n, a^m : a^n, (a^m)^n.
4. Применяйте свойства степеней для одинаковых оснований и для произведений/дробей. Приводите числа к удобным основаниям (например, 4 = 2^2, 8 = 2^3, 9 = 3^2, 25 = 5^2, 27 = 3^3, 125 = 5^3, 100 = 10^2).
5. После упрощения степеней выполняйте умножение и деление (слева направо), затем сложение и вычитание.
6. Следите за знаками, особенно при отрицательных основаниях: различайте -a^n и (-a)^n. Проверяйте четность показателя.
7. Оцените результат прикидкой: имеет ли ответ разумный порядок величины? Нет ли явных несоответствий (например, 0^n вдруг оказался не равен 0 при n ≥ 1)?

Чтобы избежать распространенных ошибок при арифметических операциях со степенями, держите под рукой список запретов и напоминаний.

• Нельзя складывать показатели при сложении чисел: a^m + a^n ≠ a^(m+n). Складывать можно только результаты, если они приведены к общему числовому виду или к общему множителю.
• Нельзя «распределять» степень по сумме: (a + b)^n ≠ a^n + b^n (в общем случае). Степень распределяется только по произведению и дроби.
• Различайте -a^n и (-a)^n: в первом случае минус применяется после возведения в степень, во втором — входит в основание.
• При делении степеней с одинаковым основанием a^m : a^n используйте a^(m−n), но помните, что делить на нуль нельзя: a и b в знаменателях не должны равняться 0.
• 0^0 не определено; 0^n = 0 при n ≥ 1; a^0 = 1 при a ≠ 0.
• При преобразованиях следите за скобками: невнимательность к их расстановке меняет результат.

Иногда полезно взглянуть на тему шире. В дальнейшем вы познакомитесь с отрицательными показателями степени, где a^(−n) = 1/a^n (при a ≠ 0), и с степенями числа 10 для записи очень больших и очень маленьких чисел. Уже сейчас стоит заметить, что степени описывают быстрый рост. Классический сюжет: если каждую клетку шахматной доски (64 клетки) зёрна удваиваются, на n-й клетке лежит 2^(n−1) зерен. К началу второй половины доски числа становятся настолько огромными, что без правил работы со степенями оценить их практически невозможно. Это подчеркивает силу и удобство степенной записи на практике.

Потренируемся на нескольких заданиях, отрабатывающих ключевые навыки «вычисление выражений со степенями и арифметическими операциями»:

1. Упростите и вычислите: 3^4 · 3^2 : 3^3. Подсказка: сложите показатели при умножении и вычтите при делении. Ответ: 3^(4+2−3) = 3^3 = 27.
2. Вычислите: (-2)^5 + 2^5. Подсказка: оцените знаки степеней. Ответ: -32 + 32 = 0.
3. Упростите: (2·5)^3 : 10^2. Подсказка: 10 = 2·5. Ответ: (2^3·5^3) : (2^2·5^2) = 2·5 = 10.
4. Вычислите: 7^2 − (−7)^2. Подсказка: четная степень. Ответ: 49 − 49 = 0.
5. Упростите: (4^2 · 8) : 2^5. Подсказка: представьте 4, 8 как степени двойки. Ответ: (2^4 · 2^3) : 2^5 = 2^(4+3−5) = 2^2 = 4.
6. Найдите значение: (25 · 4)^2 : (10^2 · 5^2). Подсказка: 25 = 5^2, 4 = 2^2, 10 = 2·5. Ответ: числитель (5^2·2^2)^2 = 5^4·2^4, знаменатель (2·5)^2·5^2 = 2^2·5^4, итог 2^(4−2) = 2^2 = 4.

Советы, ускоряющие вычисления и повышающие точность: — Превращайте составные числа в степени простых чисел: это открывает путь к сокращениям. Так, 36 = 6^2 = (2·3)^2 = 2^2·3^2; 81 = 3^4; 125 = 5^3; 64 = 2^6 или 4^3; 1000 = 10^3. — Сначала упростите «скелет» выражения с помощью свойств степеней, а уж потом считайте конкретные числа. — Будьте внимательны к нулевым и первым показателям: n^1 = n, a^0 = 1 (a ≠ 0), эти случаи часто позволяют мгновенно убрать лишние множители. — Проверяйте знак результата, если основание отрицательное, через четность показателя. — Для больших чисел применяйте степени 10, чтобы быстро оценить порядок величины и расположить запятую.

Итоги. Тема «вычисление выражений с использованием степеней и арифметических операций» опирается на четкое понимание терминов (основание, показатель), строго соблюдает порядок действий и оперирует несколькими ключевыми свойствами степеней: умножение и деление с одинаковыми основаниями, степень степени, степень произведения и дроби. Внимательность к скобкам, к знакам и к особым случаям (нулевая степень, 0^n, 1^n) избавляет от ошибок. Регулярная практика с разнообразными примерами — лучший способ закрепить правила и добиться уверенного, быстрого и аккуратного счета в теме «Алгебра, 7 класс».