График функции. Алгебра, 8 класс

ВведениеВ алгебре функция — это зависимость одной переменной от другой. График функции — это наглядное представление этой зависимости в виде линии или кривой на плоскости. В этом уроке мы рассмотрим основные понятия и свойства графиков функций, а также научимся строить графики различных функций.

Основные понятия

1. Функция. Функция — это правило, которое каждому значению независимой переменной (аргумента) ставит в соответствие единственное значение зависимой переменной (функции). Например, функция $y = x^2$ каждому значению $x$ ставит в соответствие значение $y$, равное квадрату этого значения.
2. Область определения функции. Область определения функции — это множество значений аргумента, при которых функция определена. Например, для функции $y = \sqrt{x}$ область определения — все неотрицательные числа.
3. Множество значений функции. Множество значений функции — это все значения, которые принимает функция при всех возможных значениях аргумента. Например, для функции $y = sin(x)$ множество значений — все действительные числа от -1 до 1.
4. График функции. График функции — это линия или кривая, которая показывает зависимость между аргументом и функцией. Для построения графика функции необходимо задать значения аргумента и вычислить соответствующие значения функции. Затем построить точки с координатами $(x, y)$, где $x$ — значение аргумента, $y$ — соответствующее значение функции. После этого соединить эти точки линией.

Свойства графиков функцийГрафики функций могут иметь различные свойства, такие как:

• Монотонность. Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
• Периодичность. Функция называется периодической, если существует число $T$, такое что $f(x + T) = f(x)$. Это число $T$ называется периодом функции.
• Четность/нечетность. Функция называется четной, если $f(-x) = f(x)$, и нечетной, если $f(-x) = -f(x)$.
• Ограниченность. Функция называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для всех значений $x$ выполняется неравенство $f(x) < M$. Функция называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для всех значений $x$ выполняется неравенство $f(x) > m$.

Построение графиков функцийДля построения графиков функций можно использовать следующие методы:

1. По точкам. Этот метод заключается в том, что мы задаем значения аргумента и вычисляем соответствующие значения функции. Затем строим точки с координатами $(x, y)$ и соединяем их линией.
2. С помощью преобразований. Этот метод основан на том, что график функции можно получить из графика другой функции с помощью различных преобразований, таких как сдвиг, растяжение, сжатие, отражение.

Пример: построим график функции $y = 2x^2 - 3$.Решение:

1. Найдем область определения функции: $D(y) = R$.
2. Найдем множество значений функции: $E(y) = [-3; +∞)$.

3. Составим таблицу значений функции для некоторых значений аргумента:	x	0	1	2
   y	-3	-7	-11

4. Построим график функции по точкам:
   x	y
   0	-3
   -1	-5
   1	-7
   2	-11

Получим параболу, ветви которой направлены вверх, вершина параболы находится в точке $(0; -3)$.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое функция?
2. Что такое область определения функции?
3. Что такое множество значений функции?
4. Что такое график функции?
5. Какие свойства могут иметь графики функций?
6. Как построить график функции?