Тема: Решение систем уравнений второй степени

Цель: изучить методы решения систем уравнений второй степени и научиться применять их на практике.

Задачи:

• Изучить основные понятия и определения, связанные с системами уравнений второй степени.
• Рассмотреть различные методы решения таких систем.
• Научиться применять полученные знания для решения задач.

Системы уравнений второй степени представляют собой набор из двух или более уравнений, каждое из которых содержит две переменные. Для решения такой системы необходимо найти значения переменных, которые удовлетворяют всем уравнениям системы.

Существует несколько методов решения систем уравнений второй степени:

1. Метод подстановки. Этот метод заключается в том, что одно из уравнений системы выражается через одну из переменных, а затем это выражение подставляется во второе уравнение. Полученное уравнение решается относительно оставшейся переменной. Затем найденное значение переменной подставляется в первое уравнение, и находится значение другой переменной.
2. Метод сложения. Этот метод основан на сложении или вычитании уравнений системы таким образом, чтобы исключить одну из переменных. После этого полученное уравнение решается относительно оставшейся переменной, и найденное значение подставляется в одно из исходных уравнений для нахождения значения другой переменной.
3. Графический метод. Этот метод позволяет наглядно представить решение системы уравнений в виде точек пересечения графиков функций, заданных уравнениями системы. Однако этот метод не всегда применим, так как графики функций могут пересекаться в нескольких точках или вообще не пересекаться.
4. Метод замены переменных. Этот метод предполагает замену одной или обеих переменных на новые переменные, что может упростить решение системы. Например, можно заменить переменную $x$ на $y-z$, а переменную $y$ на $x+z$. Это позволит получить систему уравнений с одной переменной $z$.
5. Метод разложения на множители. Этот метод применяется, если одно из уравнений можно разложить на множители. Тогда можно выразить одну переменную через другую и подставить это выражение во второе уравнение.
6. Метод введения новой переменной. Этот метод используется, когда оба уравнения системы можно привести к виду, где одна из переменных возведена в квадрат. В этом случае можно ввести новую переменную, равную этой квадратичной функции, и решить полученную систему.
7. Решение систем однородных уравнений. Однородными уравнениями называются уравнения вида $ax^2+bx+c=0$, где коэффициенты $a$, $b$ и $c$ — действительные числа. Такие уравнения можно решать методом разложения на множители или методом введения новой переменной.
8. Другие методы. Существуют и другие методы решения систем уравнений второй степени, такие как метод Гаусса или метод Крамера. Эти методы основаны на матричном представлении системы и требуют дополнительных знаний в области линейной алгебры.

Рассмотрим примеры решения систем уравнений второй степени различными методами.

Пример 1. Решить систему уравнений:$\begin{cases}x^2-y=4 \xy=6\end{cases}$

Решение:1) Метод подстановки. Выразим $x^2$ из первого уравнения: $x^2=y+4$. Подставим это выражение во второе уравнение: $(y+4)y=6$. Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Получим два корня: $y_1=-2$ и $y_2=3$. Теперь найдём соответствующие значения $x$. Из первого уравнения получим: $x_1=\sqrt{6}$, $x_2=-\sqrt{2}$. Ответ: ($\sqrt{6}, -2$), (-$\sqrt{2}$, 3).

2) Метод сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе — на -1, чтобы получить противоположные коэффициенты при $y$. Сложим полученные уравнения: $2x^2+y^2=8$. Это уравнение является квадратным относительно $y$, и его можно решить стандартным способом. Ответ: (2, -4), (-2, 4).

Пример 2. Решить систему уравнений:$\begin{cases}(x-1)^2+(y-2)^2=9 \x+y=5\end{cases}$

Решение:1) Графический метод. Построим графики функций $f(x)=(x-1)^2+9$ и $g(x)=5-x$. Эти графики представляют собой окружности с центрами в точках (1, 0) и (5, 0), соответственно. Найдём точки пересечения этих окружностей. Ответ: (3, 2), (2, 3).

2) Метод замены переменных. Заменим переменные $x$ и $y$ новыми переменными $u$ и $v$, такими что $x=u+1$, $y=v+2$. Тогда система примет вид:$\begin{cases}u^2+v^2=9 \u+v=3\end{cases}$Решим эту систему методом сложения. Ответ: (4, -5), (-5, 4).

Таким образом, мы рассмотрели основные методы решения систем уравнений второй степени и научились применять их на конкретных примерах. Важно отметить, что выбор метода зависит от конкретной задачи и её особенностей.