Свойства арифметического квадратного корня

Квадратным корнем из числа a называют число, квадрат которого равен a.

Это определение можно записать так: √a = b, где b² = a.

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Например, √9 = 3, потому что 3² = 9.

В математике принято использовать знак радикала для обозначения квадратного корня. Этот знак представляет собой символ √, который ставится перед подкоренным числом. Подкоренное число — это число, из которого извлекается корень.

Основные свойства арифметических квадратных корней:

1. *√a √b = √(ab)**

Произведение квадратных корней равно квадратному корню из произведения подкоренных выражений.

Пример: √25 √36 = √(2536) = √900 = 30.

2. √(a/b) = √a / √b

Частное квадратных корней равно частному подкоренных выражений, если подкоренные выражения положительны.

Пример: √48 / √3 = √(48/3) = √16 = 4.

3. Если a ≥ 0 и n – натуральное число, то √(a^n) = |a|^(n/2)

Корень из степени равен подкоренному выражению в степени 1/n, если показатель степени — чётное число.

Пример: √(64) = 8, так как 8² = 64.

4. Для любого действительного числа а справедливо равенство (√а)^2 = а.

Квадрат арифметического квадратного корня равен подкоренному числу.

Пример: (√16)^2 = 16.

5. При любом значении а верно неравенство: √а ≤ а.

Значение арифметического квадратного корня не превышает значения подкоренного числа.

Пример: √9 < 3.

Эти свойства позволяют выполнять различные операции с арифметическими квадратными корнями, упрощать выражения и решать уравнения. Они также могут быть использованы для решения задач, связанных с окружающей средой. Например, при расчёте площади участка земли или объёма воды в резервуаре.

Важно помнить, что арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует. Это связано с тем, что квадрат любого числа всегда является положительным числом. Поэтому, если необходимо извлечь квадратный корень из отрицательного числа, следует использовать комплексные числа.

Также стоит отметить, что квадратные корни из дробных чисел могут быть как рациональными, так и иррациональными числами. Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби, где числитель и знаменатель являются целыми числами. Иррациональные числа — это бесконечные десятичные дроби, которые не могут быть представлены в виде простой дроби.

Изучение свойств арифметических квадратных корней помогает лучше понять математические концепции и применять их на практике. Эти знания могут пригодиться при решении различных задач, а также при изучении других математических дисциплин.

Вопросы для самоконтроля:

• Что такое арифметический квадратный корень?
• Какие основные свойства арифметических квадратных корней вы знаете?
• Как выполнить умножение и деление квадратных корней?
• В каких случаях можно извлечь квадратный корень из дроби?
• Почему нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа?

Практические задания:

1. Вычислите: √1, √4, √9, √16, √25, √36, √49, √64, √81, √100.
2. Найдите значение выражения: √75 - √25 + √36.
3. Решите уравнение: x² - 2x - 3 = 0.