Построение графиков квадратичных функций

Квадратичная функция — это функция, которую можно задать формулой вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа, причём $a$ не равно нулю.

График квадратичной функции представляет собой параболу. Парабола — это геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Для построения графика квадратичной функции необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить направление ветвей параболы. Для этого нужно посмотреть на коэффициент $a$. Если $a > 0$, то ветви параболы направлены вверх, а если $a < 0$, то вниз.
2. Найти координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$. Для этого нужно воспользоваться формулами:
   • $x_0 = -\frac{b}{2a}$ — абсцисса вершины параболы;
   • $y_0 = ax_0^2 + bx_0 + c$ — ордината вершины параболы.
3. Построить ось симметрии параболы, которая проходит через вершину параболы параллельно оси ординат. Ось симметрии задаётся уравнением $x = x_0$.
4. Найти точки пересечения параболы с осями координат. Для этого необходимо решить уравнения $y = 0$ и $x = 0$.
5. Используя найденные точки и ось симметрии, построить график квадратичной функции.

Рассмотрим пример построения графика квадратичной функции $y = x^2 - 6x + 5$.

1. Коэффициент $a = 1 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх.
2. Найдём координаты вершины параболы:
   • $x_0 = \frac{6}{2} = 3$;
   • $y_0 = 9 - 18 + 5 = -4$.
3. Ось симметрии проходит через точку $(3; -4)$ параллельно оси ординат.
4. Точки пересечения с осью $Ox$ найдём из уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$. Решая его, получим $x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = 5$ или $1$. Значит, график функции пересекает ось $Ox$ в точках $(5; 0)$ и $(1; 0)$.
5. Точка пересечения с осью $Oy$ находится в начале координат, так как $y(0) = 0^2 - 6 \cdot 0 + 5 = 5$.
6. Строим график функции по найденным точкам.

Пример 2. Построим график функции $y = -x^2 + 4x - 3$.

1. Коэффициент $a = -1 < 0$, значит, ветви параболы направлены вниз.
2. Координаты вершины параболы равны:
   • $x_0 = \frac{-4}{-2} = 2$;
   • $y_0 = (-2)^2 - 4 \cdot 2 + 3 = -5$.
3. Осью симметрии является прямая $x = 2$.
4. График пересекает ось $Oy$ в точке $(0; -3)$.
5. Чтобы найти точки пересечения с осью $Ox$, решим уравнение $-x^2 + 4x - 3 = 0$. Корни этого уравнения равны $x{1} = -1$ и $x{2} = 3$. Следовательно, график пересекает ось абсцисс в точках $(-1; 0)$ и $(3; 0)$.
6. По найденным точкам строим график.

На практике часто встречаются задачи, в которых требуется найти наибольшее или наименьшее значение квадратичной функции на заданном промежутке. Для решения таких задач можно использовать следующие методы:

• Аналитический метод. Необходимо найти производную функции и приравнять её к нулю. Корни полученного уравнения будут являться точками экстремума функции. Затем нужно подставить значения этих точек в исходную функцию и выбрать наибольшее или наименьшее из полученных значений.
• Графический метод. Нужно построить график функции и определить по нему наибольшее или наименьшее значение функции на данном промежутке.

Например, рассмотрим задачу: найти наибольшее значение функции $f(x) = x^2 - 8x + 7$ на отрезке $[0; 4]$.

Решим эту задачу аналитическим методом. Найдём производную функции: $f'(x) = 2x - 8$. Приравняем её к нулю: $2x - 8 = 0$, откуда $x = 4$. Подставим значение $x = 4$ в исходную функцию: $f(4) = 4^2 - 8 \cdot 4 + 7 = -9$. Теперь подставим значение $x = 0$ в функцию: $f(0) = 0 - 0 + 7 = 7$. Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [0; 4] равно 7.

Теперь решим эту же задачу графическим методом. Построим график функции. Для этого найдём координаты вершины параболы: $x_0 = \frac{8}{2} = 4$, $y_0 = f(4) = -9$. Ось симметрии параболы задаётся уравнением $x = 4$. График функции пересекает ось $Oy$ в точке (0; 7). Так как на графике видно, что наибольшее значение функции достигается в вершине параболы и равно -9, то ответом будет число -9.

Таким образом, мы рассмотрели основные методы построения графиков квадратичных функций и способы нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на заданном отрезке. Эти знания помогут вам успешно решать задачи по алгебре, связанные с квадратичными функциями.