Решение уравнений с одной переменной Уравнение с одной переменной — это математическое выражение, содержащее неизвестное число, которое обозначается буквой. Решить уравнение — значит найти все его корни или убедиться, что их нет. Основные понятия и определения Уравнение — равенство, содержащее одну или несколько переменных. Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. Решить уравнение — найти все его корни либо доказать, что корней нет. Для решения уравнений используются различные методы, которые зависят от типа уравнения. Рассмотрим основные из них: 1. Линейные уравнения. Уравнения вида $ax + b = 0$, где $a$ и $b$ — числа, а $x$ — переменная. Для решения таких уравнений необходимо перенести слагаемое без переменной в правую часть, а затем выразить переменную. Пример: решить уравнение $2x + 3 = 5$. Решение: Перенесём слагаемое $3$ в правую часть уравнения: $2x = 5 - 3$. Выразим переменную $x$: $x = \frac{5-3}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Ответ: $1$. 2. Квадратные уравнения. Уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a$, $b$, $c$ — коэффициенты, $x$ — переменная. Чтобы решить квадратное уравнение, нужно найти дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$ и определить количество корней в зависимости от знака дискриминанта. Пример: решить уравнение $x^2 - x - 6 = 0$. Решение: Найдём дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 1 (-6) = 25$. Так как дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня. Найдём их по формуле: $x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3$, $x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 1} = \frac{1 - 5}{2} = -2$. Ответ: $3$, $-2$. 3. Дробно-рациональные уравнения. Это уравнения, содержащие дроби, в которых есть переменные. Чтобы решить такое уравнение, необходимо привести его к виду $\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$ и решить полученное уравнение. Пример: решить уравнение $(x - 2)(x + 1) = (x - 3)(x - 1)$. Решение: Раскроем скобки: $(x^2 + x - 2x - 2) = (x^2 - x + 3x - 3)$. Приведём подобные слагаемые: $x^2 - x = x^2 - x$. Сократим на $x^2$ и перенесём $-x$ в левую часть: $0 = -x + 2x - 2$. Решим полученное линейное уравнение: $0 = x - 2$, откуда $x = 2$. Ответ: 2. 4. Иррациональные уравнения. Уравнения, содержащие корень чётной степени. Чтобы решить иррациональное уравнение, необходимо возвести обе части уравнения в степень, равную степени корня, и решить получившееся уравнение. Пример: решить уравнение $\sqrt{x} = x - 7$. Решение: Возведём обе части уравнения в квадрат: $x = (x-7)^2$. Раскрывая скобки, получим квадратное уравнение: $x = x^2 - 14x + 49$. Переносим $x$ влево, а свободный член вправо: $x^2 - 15x + 49 = 0$. Дискриминант равен $D = 225 - 4 49 < 0$, следовательно, корней у данного уравнения нет. Ответ: корней нет. Это лишь некоторые из методов решения уравнений. В зависимости от сложности уравнения могут применяться и другие методы. Важно помнить, что решение уравнений требует внимательности и аккуратности.