Сумма квадратов — это выражения вида a^2 + b^2, где a и b — числа или алгебраические выражения. На первый взгляд они похожи на знакомую формулу разности квадратов a^2 − b^2, но ключевая особенность в том, что сумма квадратов над действительными числами не раскладывается на множители в виде произведения многочленов с действительными коэффициентами. Именно поэтому тема важна для 9 класса: нужно научиться отличать, где разложение возможно, а где следует применять другие приемы — преобразование по формулам, выделение полного квадрата, оценка выражений, работа с геометрическим смыслом и анализ уравнений.

Начнем с базовых тождеств, которые помогают гибко обращаться с выражением a^2 + b^2 и часто используются при упрощении или оценке:

• a^2 + b^2 = (a + b)^2 − 2ab. Это просто развернутая формула квадрата суммы, в которой мы «отделяем» смешанный член 2ab.
• a^2 + b^2 = (a − b)^2 + 2ab. Полезно, если удобнее работать с разностью.
• a^2 + b^2 = ((a + b)^2 + (a − b)^2) / 2. Это симпатичное тождество получается сложением двух квадратов (a + b)^2 и (a − b)^2: смешанные члены взаимно уничтожаются, а квадраты удваиваются.

Почему мы подчеркиваем, что сумма квадратов не раскладывается? Если попытаться представить a^2 + b^2 как (a + p)(a + q) при переменной a и параметре b, то получим систему условий на коэффициенты: p + q = 0 и pq = b^2. Из первого p = −q, тогда pq = −p^2 ≤ 0, то есть произведение неположительно. Но b^2 ≥ 0, и при b ≠ 0 получается противоречие: нам нужно положительное число, а выходит неположительное. Отсюда следует, что в поле действительных чисел привычного разложения нет. Впрочем, важный познавательный факт: над комплексными числами a^2 + b^2 = (a + bi)(a − bi), но это уже вне рамок базового курса 9 класса и используется только как расширение кругозора.

Самый частый прием работы с суммой квадратов в задачах — выделение полного квадрата. Идея проста: прибавляем и вычитаем нужный член, чтобы получить выражение вида (x + m)^2 + n. Это удобно для:

• нахождения минимума выражения: квадрат неотрицателен, поэтому минимальное значение достигается, когда квадрат равен нулю;
• анализа корней квадратного трехчлена: представление в виде суммы квадратов сразу показывает знак выражения и количество корней;
• решения уравнений и неравенств, где становится видно, может ли левая часть принять нужное значение.

Рассмотрим пошагово типичный пример: найти минимум f(x) = x^2 + 6x + 10. Выделим полный квадрат: x^2 + 6x + 9 + 1 = (x + 3)^2 + 1. Так как (x + 3)^2 ≥ 0 для всех x, то f(x) ≥ 1. Минимум равен 1 и достигается при x = −3. Мы, по сути, свели задачу к анализу суммы квадратов: квадратная часть дает неотрицательность, добавка «+ 1» поднимает график на единицу. Такая техника встречается постоянно — от простых упражнений до подготовки к ОГЭ.

Еще один важный пример: определить число корней уравнения 5x^2 + 20x + 29 = 0. Выделим квадрат: 5(x^2 + 4x) + 29 = 5[(x + 2)^2 − 4] + 29 = 5(x + 2)^2 − 20 + 29 = 5(x + 2)^2 + 9. Получаем 5(x + 2)^2 + 9 = 0. Слева сумма двух неотрицательных выражений: 5(x + 2)^2 ≥ 0 и 9 > 0, значит левая часть строго положительна для всех x. Следовательно, корней нет. Этот способ часто намного нагляднее, чем вычисление дискриминанта: мы видим структуру «суммы квадратов», которая не может быть отрицательной.

А теперь перейдем к более продвинутым формам. Хотя обычная сумма квадратов не раскладывается, в алгебре встречаются специальные конструкции, которые удачно «маскируются» под сумму квадратов, но допускают разложение. Классический пример — тождество Софи Жермен для выражения вида a^4 + 4b^4. Его можно преобразовать так: a^4 + 4b^4 = a^4 + 4a^2b^2 − 4a^2b^2 + 4b^4 = (a^4 + 4a^2b^2 + 4b^4) − 4a^2b^2 = (a^2 + 2ab + 2b^2)(a^2 − 2ab + 2b^2). В результате мы получили разложение на множители, хотя исходник выглядит как «сумма квадратов». Еще одно красивое (и полезное в олимпиадной тематике) тождество: (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac − bd)^2 + (ad + bc)^2. Оно показывает, что произведение двух сумм квадратов снова является суммой квадратов, и поэтому часто используется для конструирования примеров и оценок.

При работе с темой важно избегать распространенных ошибок. Обратите внимание на следующие типичные ловушки:

• Нельзя «по привычке» писать a^2 + b^2 = (a + b)^2. На самом деле (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, и добавляется смешанный член 2ab, которого в сумме квадратов нет.
• Нельзя путать сумму квадратов с разностью квадратов: a^2 − b^2 = (a − b)(a + b) — это разложение, доступное в действительных числах; а^2 + b^2 так не раскладывается.
• Ошибки при выделении полного квадрата: забывают вычесть добавленный член или неверно выбирают половину коэффициента при x. Напоминание: чтобы из x^2 + px сделать квадрат, нужно добавить (p/2)^2: x^2 + px + (p/2)^2 = (x + p/2)^2.
• Незамеченный общий множитель. Иногда выражение вида k(a^2 + b^2) упрощается выносом k: это облегчает оценку и поиск минимума.

Сумма квадратов тесно связана с неравенствами. Самое известное — a^2 + b^2 ≥ 2ab. Его легко получить из (a − b)^2 ≥ 0, ведь это то же самое, что a^2 + b^2 − 2ab ≥ 0. Из неравенства следует удобная оценка: среднее квадратичное не меньше среднего арифметического (в частном случае). Для трех переменных существует полезная форма: a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca. Это доказывается разложением половины суммы квадратов разностей: 2(a^2 + b^2 + c^2 − ab − bc − ca) = (a − b)^2 + (b − c)^2 + (c − a)^2 ≥ 0. Как только вы видите в задаче такие комбинации, вспоминайте связь с суммой квадратов — это быстрый путь к оценкам и доказательствам.

Геометрический смысл помогает еще лучше понять тему. В координатной плоскости расстояние между точками (x1, y1) и (x2, y2) выражается через сумму квадратов: d^2 = (x2 − x1)^2 + (y2 − y1)^2. Уравнение вида (x − a)^2 + (y − b)^2 = R^2 описывает окружность с центром (a, b) и радиусом R. То есть сумма квадратов — это «квадрат расстояния» от точки (x, y) до центра окружности. Например, уравнение (x − 3)^2 + (y + 1)^2 = 25 задает круговую линию с центром (3, −1) и радиусом 5. Понимая этот смысл, легко решать геометрические задачи алгебраическими методами и наоборот.

Алгоритм работы с выражениями, где встречается сумма квадратов, можно оформить как пошаговую стратегию:

1. Выясните структуру: это чистая сумма двух квадратов, сумма квадрата и положительной константы или часть более сложного многочлена.
2. Попробуйте выделить полный квадрат: сгруппируйте линейный и квадратный члены по одной переменной, добавьте и вычтите нужный член.
3. Ищите общий множитель: k(a^2 + b^2) проще анализировать, чем разрозненные коэффициенты.
4. Используйте тождества: замените a^2 + b^2 на (a + b)^2 − 2ab или на (a − b)^2 + 2ab — выбирайте форму, которая упрощает задачу.
5. Для особых выражений проверьте применимость тождества Софи Жермен и родственных разложений.
6. Если задача на оценку, сразу вспоминайте неравенства, вытекающие из суммы квадратов: (a − b)^2 ≥ 0 и их обобщения.
7. При уравнениях вида (x − a)^2 + (y − b)^2 = R^2 используйте геометрическую интерпретацию: это окружность; оцените, есть ли решения и сколько их.

Разберем еще несколько разнообразных примеров.

• Упростить выражение (a^2 + b^2) / (a + b)^2. Запишем числитель как (a + b)^2 − 2ab. Тогда дробь равна 1 − 2ab / (a + b)^2. Такая форма удобна для оценок: по неравенству a^2 + b^2 ≥ 2ab имеем (a + b)^2 ≥ 4ab, значит 2ab / (a + b)^2 ≤ 1/2 и вся дробь ≥ 1/2. Получили строгую оценку без долгих вычислений.
• Найти минимальное значение выражения 2x^2 − 8x + 13. Выделим квадрат: 2(x^2 − 4x) + 13 = 2[(x − 2)^2 − 4] + 13 = 2(x − 2)^2 + 5. Минимум равен 5, достигается при x = 2. Это снова сумма квадратов: 2(x − 2)^2 неотрицательно, плюс константа.
• Разложить x^4 + 4x^2 + 4 на множители. Это (x^2 + 2)^2 — квадрат суммы; но если встретится x^4 + 4y^4, тогда работает уже тождество Софи Жермен: (x^2 − 2xy + 2y^2)(x^2 + 2xy + 2y^2).
• Оценить значение S = a^2 + b^2 при фиксированной сумме a + b = c. Представим S = (a + b)^2 − 2ab = c^2 − 2ab. Максимум S достигается, когда ab минимально; при фиксированной сумме минимальное ab получается, когда одна из переменных стремится к границе (например, 0 при неотрицательных a, b). Минимум S достигается при a = b = c/2, и тогда S_min = 2(c/2)^2 = c^2/2. Такой анализ часто встречается в задачах на экстремумы.

В контексте целых чисел уравнение x^2 + y^2 = n связывает алгебру с арифметикой и геометрией. Например, x^2 + y^2 = 25 имеет решения (±3, ±4), (±4, ±3), (±5, 0), (0, ±5) — это точки окружности радиуса 5 с целыми координатами. Такие пары называются пифагоровыми числами, и они широко используются в задачах. Здесь сумма квадратов отражает геометрию: квадрат расстояния от начала координат равен 25.

Еще несколько полезных замечаний для уверенной работы с темой:

• Если в выражении много переменных, удобно группировать по парам, чтобы получить суммы квадратов разностей: например, a^2 + b^2 + c^2 − ab − bc − ca = 1/2[(a − b)^2 + (b − c)^2 + (c − a)^2]. Такой формат сразу гарантирует неотрицательность.
• Если нужно доказать, что выражение всегда положительно, попробуйте представить его как сумму квадратов или как сумму квадрата и положительной константы. Это «бетонный» способ, не требующий тонких оценок.
• При трансформациях со степенями 4 и выше полезно искать «квадрат квадрата»: (p^2)^2. Тогда можно применить тождество Софи Жермен или выделения полного квадрата уже на уровне p.

В завершение предложу небольшой набор тренировочных заданий, который помогает закрепить основные приемы и обратить внимание на характерные детали решения.

1. Представьте в виде суммы квадратов: 3x^2 − 12x + 19. Подсказка: выделите полный квадрат внутри скобок с коэффициентом 3.
2. Докажите неравенство для любых действительных a и b: a^2 + b^2 ≥ ab. Подсказка: разложите 2a^2 + 2b^2 − 2ab как сумму квадратов или используйте (a − b/2)^2 ≥ 0.
3. Преобразуйте выражение (m^2 + n^2) − (m − n)^2. Подсказка: используйте тождество a^2 + b^2 = (a − b)^2 + 2ab.
4. Решите в действительных числах уравнение x^2 + (x − 4)^2 = 10. Подсказка: это сумма квадратов; соберите квадратный трехчлен и выделите квадрат.
5. Разложите на множители a^4 + 4b^4. Подсказка: тождество Софи Жермен.

Итак, главные выводы для школьной практики: сумма квадратов — фундаментальная конструкция, которая чаще всего не раскладывается над действительными числами, зато дает сильные инструменты анализа: выделение полного квадрата, оценка через неравенства, геометрическая интерпретация, работа с окружностями и расстояниями. В сложных выражениях ищите способы переписать формулу с помощью тождеств a^2 + b^2 = (a + b)^2 − 2ab и a^2 + b^2 = (a − b)^2 + 2ab, применяйте объединение в пары, не забывайте про специальные разложения вроде тождества Софи Жермен. Уверенное владение этими приемами делает задачи 9 класса по алгебре более прозрачными, а решения — короткими и убедительными.