Эндогенные переменные — это такие переменные, значения которых определяются внутри самой модели за счет взаимосвязей между уравнениями и механизмов обратной связи. Иначе говоря, они одновременно являются причиной и следствием процессов, описываемых моделью. В экономике и эконометрике термин употребляется в двух взаимосвязанных, но разных смыслах. Во-первых, в контексте систем одновременных уравнений: эндогенные переменные — это все величины, значения которых модель рассчитывает сама, противопоставляя их экзогенным переменным, задаваемым «извне». Во-вторых, в контексте одной регрессии: эндогенность — это проблема, когда один или несколько регрессоров коррелируют со случайной ошибкой, из-за чего оценки методом наименьших квадратов становятся смещенными и несостоятельными. Эти два взгляда дополняют друг друга: идея «внутреннего» определения в системе порождает на практике корреляцию регрессора с ненаблюдаемыми факторами ошибки.

Чтобы почувствовать интуицию, представьте классическую рыночную модель спроса и предложения. Цена и количество — типичные эндогенные переменные: они устанавливаются одновременно в результате пересечения спроса и предложения. Доходы потребителей, погодные условия для урожая или налоги — это экзогенные переменные, которые сдвигают кривые и, следовательно, через рыночный механизм определяют равновесную цену и объем. Если попытаться наивно оценить влияние цены на спрос обычной регрессией, мы столкнемся с эндогенностью: наблюдаемая цена реагирует на ненаблюдаемые сдвиги спроса и предложения, поэтому коррелирует с ошибкой спросового уравнения. В результате стандартный МНК (метод наименьших квадратов) «перепутает» причинность.

Важно развести понятия «зависимая» и «эндогенная» переменная. В простой регрессии зависимой называют переменную слева от уравнения — ту, которую мы объясняем. Но эндогенность — это свойство регрессора (или всей переменной в системе), состоящее в его связности с ошибкой или в том, что он определяется внутри модели. Таким образом, зависимая переменная не обязательно эндогенна в «плохом» смысле; проблема возникает, когда поясняющие факторы не независимы от ненаблюдаемой компоненты. В системной постановке зависимыми являются все уравнения, а эндогенными — всерешаемые величины: и прежняя «зависимая», и некоторые регрессоры, которые тоже рассчитываются в модели.

Откуда берется эндогенность? На практике источников несколько, и каждый порождает собственный вид смещения.

• Пропуск значимой переменной. Если мы не включили важный фактор, влияющий и на регрессор, и на зависимую переменную, этот фактор «уходит» в ошибку, а регрессор оказывается с ней коррелирован. Это классический «omitted variable bias».
• Одновременность (симультанность). Переменная влияет на результат, но и результат влияет на нее. Цена влияет на спрос, но спрос (через рыночный механизм) влияет на цену — наблюдаем корреляцию с ошибкой.
• Обратная причинность. Например, высокая успеваемость может повышать вероятность получения дополнительных занятий, а не только занятия повышают успеваемость.
• Ошибки измерения. Если регрессор измерен с ошибкой, особенно систематической, реальная часть уходит в остаток и возникает корреляция.
• Селективность выборки. Когда попадание в выборку зависит от ненаблюдаемых факторов, связанных с регрессорами (пример: данные только по работающим; решение работать связано с теми же факторами, что и заработок).

Последствия эндогенности для оценки параметров серьезны. Стандартный МНК дает смещенные и несостоятельные оценки: даже при бесконечном росте объема выборки оценка не приближается к истинному параметру. Интервальные оценки и p-значения теряют смысл: мы больше не можем доверять выводам о значимости коэффициентов. Особенно сильно страдает интерпретация причинности: коэффициент перестает измерять чистый эффект одного фактора при прочих равных. Именно поэтому распознавание и устранение эндогенности — центральная задача прикладной эконометрики, социологии, биостатистики, маркетинговых исследований.

Как диагностировать проблему? Универсального автоматического теста безупречной силы не существует, но есть набор приемов, сочетающих экономическую теорию, здравый смысл и статистические проверки.

• Теоретическое обоснование. Сначала анализ причинно-следственных механизмов: могут ли факторы и результат влиять друг на друга? Есть ли скрытые факторы?
• Сравнение спецификаций. Добавление контролей (переменных-«контролей») и наблюдение за устойчивостью оценок. Сильные сдвиги — сигнал пропуска важного фактора.
• Тесты Хаусмана/Дурбина–Ву–Хаусмана. Сравнение состоятельной при эндогенности оценки (например, методом инструментальных переменных) с МНК. Существенные различия указывают на эндогенность.
• Панельные данные и фиксированные эффекты. Проверка, исчезает ли смещение при контроле неизменных во времени скрытых факторов.
• Естественные эксперименты. Поиск экзогенных шоков, позволивших бы идентифицировать причинный эффект вне модели.

Главные методы борьбы с эндогенностью разнообразны, выбор зависит от источника проблемы и доступных данных.

1. Инструментальные переменные (ИП). Нужна переменная, влияющая на эндогенный регрессор, но не влияющая напрямую на исход — только через него. Два ключевых требования: релевантность (инструмент существенно объясняет эндогенный регрессор) и экзогенность (инструмент не коррелирует с ошибкой целевого уравнения). Практическая процедура — двухшаговый МНК: на первом шаге регрессируем эндогенный регрессор на инструмент(ы) и экзогенные контролы; на втором — заменяем исходный регрессор его предсказанными значениями и оцениваем итоговую регрессию. Обязательно проверяем силу инструментов (например, F-статистика первого шага должна быть достаточно большой; ориентир — больше 10) и валидность (тест Саргана/Хансена на сверхидентифицирующие ограничения).
2. Фиксированные эффекты и панельные методы. Если эндогенность вызвана неизмеряемыми, но постоянными во времени факторами, то моделирование индивидульных или групповых неизменных эффектов «вычитает» их влияние. При наличии лаговой зависимой переменной используем специализированные GMM-оцениватели (Ареллано–Бонд, Ареллано–Бовер/Блунделл–Бонд) с внутренними инструментами на основе лагов.
3. Разности и квази-экспериментальные подходы. Разности-разностей (difference-in-differences) сравнивают изменения в группе «лечения» и «контроля» до и после шока, снимая постоянные скрытые различия. Регрессия прерывания (regression discontinuity) использует четкую границу правила назначения.
4. Контрольная функция. Сначала моделируем эндогенный регрессор с инструментом, затем добавляем в основное уравнение оцененный остаток как регрессор; его значимость указывает на эндогенность, а включение обеспечивает состоятельность оценок при выполнении условий.
5. Коррекция селекции (Хекмана). При неслучайной выборке сначала оценивается вероятность попадания в выборку (уравнение отбора), затем добавляется «обратное отношение Миллса» в целевую регрессию для устранения смещения селекции.
6. Эксперимент/рандомизация. Золотой стандарт: случайное назначение воздействия делает его экзогенным, устраняя эндогенность. В прикладных условиях ищем естественные эксперименты.

Разберем пошагово, как учитель, на классическом примере одновременности. Предположим, нас интересует влияние цены на спрос. Мы подозреваем эндогенность цены: неожиданные шоки вкусов покупателей повышают и спрос, и наблюдаемую цену, значит, цена «заражена» ошибкой спроса. Что делаем?

1. Формулируем структурную модель. Спрос: объем зависит от цены и дохода; предложение: объем зависит от цены и затрат. Цена и объем — эндогенные переменные; доход и затраты — экзогенные.
2. Определяем инструмент. Нам нужен фактор, сдвигающий предложение, но не спрос. Примером может быть погода, влияющая на урожай и издержки, но не меняющая предпочтения покупателей напрямую.
3. Первый шаг (построение предсказанного регрессора). Оцениваем регрессию цены на погодный индекс и другие экзогенные переменные. Проверяем, что инструмент «сильный» (значимый и с достаточно высокой F-статистикой).
4. Второй шаг (целевое уравнение). Оцениваем спрос, заменив фактическую цену ее предсказанным значением с первого шага. Полученная оценка эластичности спроса уже не искажена шоками спроса, так как погода не влияет на вкусы напрямую.
5. Проверки и интерпретация. Оцениваем качество инструмента: тесты валидности (Сарган/Хансен) и чувствительность к альтернативным спецификациям. Интерпретируем коэффициенты как причинные при выполнении допущений.

Еще один типичный пример — оценка влияния образования на заработок. Способности и семейный фон влияют и на накопление образования, и на зарплату, поэтому образование как регрессор эндогенно. Популярный инструмент — расстояние до ближайшего колледжа в подростковом возрасте: оно связано с вероятностью поступления (релевантность), но при аккуратном контроле не должно напрямую влиять на заработок взрослых (экзогенность). Снова применяем двухшаговый МНК, интерпретируя оценку как локальный средний причинный эффект для тех, чьи решения о учебе чувствительны к расстоянию.

Важный класс — динамическая эндогенность. Когда в модель включают лагированную зависимую переменную (например, текущие продажи зависят от прошлых продаж), возникает корреляция с индивидуальными фиксированными эффектами, а значит, с ошибкой после преобразований. Панельные GMM-подходы (Ареллано–Бонд и система Ареллано–Бовер/Блунделл–Бонд) используют лаги переменных как внутренние инструменты, формируя моментные условия. Практически важно контролировать число инструментов (не допуская их «перепроизводства»), проверять отсутствие автокорреляции второго порядка в разностях и валидность инструментов тестом Хансена. Это аккуратная техника для данных с большой панелью по индивидам и короткой по времени.

В моделях одновременных уравнений ключом является идентифицируемость: сможем ли мы выделить истинные структурные параметры из данных? Применяются эвристические условия идентификации: порядковое (число экзогенных переменных, исключенных из данного уравнения, должно быть не меньше числа эндогенных регрессоров минус один) и ранговое (более строгое, связанное с рангом матриц ограничений). На практике ход рассуждений следующий: если в уравнении спроса отсутствуют издержки (они есть только в предложении), то издержки служат инструментами, и спрос можно идентифицировать; если же никакие экзогенные факторы не «сдвигают» только одну кривую, отделить спрос от предложения нельзя.

Чтобы выработать устойчивый алгоритм распознавания и решения задач с эндогенными переменными, используйте такой план действий.

1. Сформулируйте вопрос причинности. Четко определите, какой эффект вы хотите оценить и в какой популяции.
2. Нарисуйте причинную схему. Выявите потенциальные пути обратной связи, скрытые факторы, возможные источники экзогенных шоков.
3. Классифицируйте переменные. Какие из них эндогенные (формируются внутри модели), какие экзогенные (задаются извне), какие контрольные.
4. Выберите стратегию идентификации. Инструменты, панели, квази-эксперимент, контрольная функция, селекция и т. д.
5. Проведите оценки несколькими способами. Сравните МНК с инструментальными или панельными методами, оцените устойчивость.
6. Выполните диагностические тесты. Проверка силы и валидности инструментов, тесты Хаусмана, анализ остатков.
7. Интерпретируйте аккуратно. Учитывайте, что инструментальные оценки часто относятся к «локальным» маргинальным эффектам для подгруппы, «комплаенсной» относительно инструмента.

Есть и практические тонкости. Слабые инструменты (когда связь с эндогенным регрессором слабая) приводят к большим стандартным ошибкам и смещению в сторону МНК. Неправильная спецификация уравнения первого шага ухудшает идентификацию. В панелях избыток инструментов делает тест Хансена «поблажливым», и мы рискуем не заметить их несостоятельность. В дифференциях-разностях ключевое допущение параллельных трендов должно обосновываться и проверяться на предтрендах. В регрессии прерывания нужно убедиться, что нет манипулирования порогом и что ковариаты непрерывны в окрестности границы. Все это — части единой дисциплины работы с эндогенными переменными: каждый метод силен в своей зоне, но уязвим при нарушении предпосылок.

Эндогенность встречается не только в экономике. В эпидемиологии уровень контактов и распространение болезни взаимно обусловлены; в экологии численность хищников и жертв формируют динамическую систему; в управлении сложными инженерными системами входные сигналы подстраиваются под состояние объекта. Во всех этих случаях полезны те же принципы: четкое различение внутренних и внешних факторов, поиск экзогенных шоков, построение надежной идентификации и использование соответствующих методов оценивания.

Подведем итог. Эндогенные переменные — сердце любой модели с обратной связью. Они ценны, потому что отражают реальный процесс формирования величин, и опасны для оценки, потому что создают корреляцию с ненаблюдаемыми факторами. Умение отличить их от экзогенных переменных, распознать источники эндогенности (пропуск факторов, одновременность, обратная причинность, ошибки измерения, селекция) и грамотно применить инструментарий (от двухшагового МНК и тестов Хаусмана до панельного GMM, дифференций-разностей и квазиидентификации) — ключ к корректным причинным выводам. Стройте модель от идеи к данным, проверяйте допущения, комбинируйте несколько источников идентификации и не забывайте о здравом смысле — тогда работа с эндогенными переменными станет не источником ошибок, а инструментом глубокого понимания исследуемых процессов.