Параллельное проецирование — это метод получения изображения трёхмерного объекта на плоскости при помощи семейства параллельных лучей. В отличие от центрального проецирования (перспективы), здесь все проецирующие лучи параллельны между собой, поэтому размеры объектов вдоль направлений, параллельных плоскости проекции, сохраняются (с определённым масштабом), а параллельные прямые объекта остаются параллельными и на изображении. Важнейшие ключевые понятия: направление проецирования, плоскость проекции, проекция точки, проекция линии и проекция поверхности. Эти понятия лежат в основе технической графики, инженерных чертежей и некоторых методов компьютерной графики.

Формально процесс можно описать так: для каждой точки объекта проводят прямую, параллельную выбранному направлению проецирования; точка пересечения этой прямой с плоскостью проекции и есть её проекция. Если плоскость проекции принять как одну из координатных плоскостей, то операция проецирования эквивалентна отбрасыванию одной координаты (например, при проецировании на плоскость XY игнорируют координату Z, если направление проецирования перпендикулярно плоскости). При наклонном направлении проецирования формулы преобразования координат меняются: проекция точки (x,y,z) на плоскость Z=0 при направлении d = (dx, dy, dz) определяется как пересечение прямой (x + t*dx, y + t*dy, z + t*dz) с z=0. Важное следствие: если прямая объекта параллельна направлению проецирования, её проекция — точка (вырожденный случай), а если прямая параллельна плоскости проекции и не параллельна направлению — её проекция остаётся прямой.

Существуют два основных типа параллельного проецирования, которые нужно чётко различать: ортографическое (ортонормальное) проецирование и наклонное (косое, обlique) проецирование. В ортографическом проецировании направление лучей перпендикулярно плоскости проекции; это классика инженерных чертежей — фас, план, разрез. Ортографию используют для точного отображения размеров и отношений между элементами. В наклонном проецировании направление лучей наклонено к плоскости проекции, что позволяет показать «вид» объекта в более объёмном виде: распространённые варианты — изометрическая проекция (частный случай аксонометрии) и кабинетная проекция (обlique с коэффициентом укорачивания 1/2). Изометрия сохраняет равномерное укорачивание по трём осям и удобна для наглядности, но не сохраняет истинные углы.

Практические правила построения проекций полезно рассмотреть шаг за шагом. Разберём общий алгоритм для построения параллельного проецирования многогранника на плоскость проекции:

1. Выберите плоскость проекции и укажите её положение на чертеже (например, горизонтальная — вид сверху, фронтальная — вид спереди).
2. Определите направление проецирования. Для ортографии это обычно нормаль к плоскости проекции; для наклонной — задайте вектор направления и величину укорачивания (если применимо).
3. Проецируйте вершины: для каждой вершины проведите через неё линию, параллельную выбранному направлению, и отметьте точку пересечения с плоскостью проекции — это проекция вершины.
4. Соедините проекции вершин в той же последовательности, в которой соединяются вершины в пространстве. При необходимости отмечайте невидимые рёбра пунктиром.
5. Проверьте геометрические соотношения: параллельные в пространстве линии должны остаться параллельными на проекции; длины вдоль направлений параллельных плоскости проекции сохраняются с выбранным масштабом.

Этот алгоритм прост, но важна аккуратность: ошибка в направлении проецирования или в порядке соединения вершин приводит к искажённому изображению.

Разберём конкретный пример: задан куб со сторонами длины 1, координаты вершин которого известны. Для ортографического фронтального вида (плоскость проекции — XY, направление — Oz) проекция любой вершины (x,y,z) — точка (x,y). То есть верхняя и нижняя грань накладываются по XY, и на фронтальном виде видно только две координаты. Для изометрии выбирают направление, при котором оси X, Y и Z проецируются под углами 120° друг к другу, а коэффициент укорачивания одинаков по всем осям (обычно 1). Практический способ построения изометрии: в плоскости проекции отложить три оси, исходящие из одной точки под углами 120°; отложить по ним координаты вершин куба с одинаковым масштабом; соединить соответствующие точки. Для кабинетной проекции на фронтальной плоскости горизонтальная ось откладывается без искажений, глубина (ось Z) откладывается под углом, например 45°, и укорачивается вдвое (коэффициент 1/2), что создаёт ощущение объёма при простоте построения.

Важно уметь правильно работать с проекциями линий и плоскостей. Основные правила:

• Проекция точки — пересечение проецирующей прямой с плоскостью проекции.
• Проекция прямой — прямая (или точка, если прямая параллельна направлению проецирования). Для получения достаточно проецировать две различные точки прямой и провести через их проекции прямую.
• Проекция плоскости — либо плоскость (линия в изображении нескольких пересечений), либо прямая, если плоскость параллельна направлению проецирования и пересекает плоскость проекции по прямой.

Эти правила удобны для быстрого анализа: например, чтобы понять видимость ребра многогранника, определяют положение ребра относительно направления проецирования и плоскости.

Нередко учащимся важны частые ошибки и приёмы проверки. Самые распространённые ошибки: неверно выбранное направление проецирования, игнорирование укорачивания в обlique-проекциях, неправильное соединение вершин, забывание невидимых линий. Для проверки результата используйте такие приёмы:

1. Проверьте параллельность: если в пространстве ребра параллельны, то и их проекции должны быть параллельными (в параллельном проецировании).
2. Контролируйте длины вдоль осей, параллельных плоскости проекции: они должны соответствовать масштабу без случайных искажений.
3. Используйте симметрию объекта: симметричные элементы должны иметь симметричные проекции.
4. В сложных случаях проверяйте проекции промежуточных точек (не только вершин), чтобы исключить ошибочные пересечения.

Эти простые приёмы помогают отловить логические и вычислительные ошибки до финальной отрисовки.

Применение параллельного проецирования широко:

• В инженерной графике и черчении — для получения видовых проекций, разрезов и сечений с точными размерами.
• В архитектуре — при создании планов и аксонометрических изображений фасадов и интерьеров.
• В компьютерной графике — при рендеринге сцен, где нужна корректная геометрия без перспективных искажений (например, для схем и технических иллюстраций).
• В машиностроении и конструировании — для передачи технологических размеров и допусков.

Понимание теории параллельного проецирования позволяет грамотно выбирать метод отображения для каждой задачи: где важна метрическая точность — ортография, где наглядность объёма — аксонометрия или наклонная проекция.

Для закрепления материала полезны упражнения:

• Постройте фронтальную, горизонтальную и профильную ортографические проекции призмы или пирамиды, объясните видимые и невидимые рёбра.
• Преобразуйте ортографический вид в изометрическую проекцию для того же объекта, сравните размеры и углы.
• Разберите случай, когда прямая параллельна направлению проецирования — как выглядит её проекция и почему.

Отвечая как преподаватель, рекомендую начинать с простых тел (куб, прямоугольный параллелепипед), затем переходить к сложным многогранникам и комбинированным телам. Важно тренироваться в выполнении построений вручную, чтобы развить пространственное воображение, и параллельно изучать алгоритмы в координатной форме для работы в CAD-системах. При систематическом подходе параллельное проецирование становится понятным и практически применимым инструментом для любой инженерной или дизайнерской задачи.