Прямая призма — это многогранник, у которого две равные и параллельные плоские фигуры служат основаниями, а все боковые ребра перпендикулярны основаниям. Отсюда вытекают сразу две ключевые особенности: боковые грани прямой призмы — прямоугольники, а длина каждого бокового ребра равна ее высоте. В курсе геометрии 11 класса тема «Объем и площадь прямой призмы» строится на нескольких базовых формулах, понимание которых позволяет решать самые разнообразные задачи: от простого вычисления по готовым числам до восстановления недостающих параметров по диагонали, периметру основания или развертке.

Начнем с главного: объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту. Коротко это записывают так: V = S_осн * h. Здесь S_осн — площадь одного из оснований (они равны), h — высота призмы, совпадающая с длиной бокового ребра. Эта формула интуитивно понятна как «экструзия»: мы «протягиваем» площадь основания на высоту и получаем объем. Важно, что в прямой призме нет наклона боковых ребер, значит, именно боковое ребро и есть расстояние между основаниями. Если основание — треугольник, прямоугольник, параллелограмм, правильный многоугольник — нам достаточно уметь находить их площади: для треугольника можно использовать формулу Герона или S = 1/2 ab sin C, для прямоугольника — S = ab, для параллелограмма — S = a b sin α, для правильного n-угольника — S = (1/2) P r, где P — периметр основания, r — радиус вписанной окружности (апофема).

Теперь о поверхности. Различают площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности. В прямой призме боковые грани — прямоугольники с одной стороной, равной высоте h, и другой стороной — сторонами основания. Если «развернуть» призму, то боковая поверхность превращается в прямоугольник, длина которого равна периметру основания P_осн, а высота — h. Поэтому флагманская формула: S_бок = P_осн * h. Полная поверхность состоит из боковой и двух равных оснований: S_полн = S_бок + 2 S_осн. Эти три выражения — опорный «скелет» темы: V = S_осн * h, S_бок = P_осн * h, S_полн = S_бок + 2 S_осн.

Чтобы уверенно пользоваться формулами, нужно понимать, как находить S_осн и P_осн для разных оснований. Приведу полезные напоминания и приемы:

• Треугольник: если известны стороны a, b, c, используйте формулу Герона: S = sqrt(p (p − a)(p − b)(p − c)), где p = (a + b + c) / 2 — полупериметр. Если известны две стороны и угол между ними, используйте S = 1/2 ab sin C. Для прямоугольного треугольника удобнее S = 1/2 катет1 * катет2.
• Прямоугольник в основании: S = ab, P = 2(a + b). Это частный случай прямой призмы — прямоугольный параллелепипед. Его пространственная диагональ равна d = sqrt(a^2 + b^2 + h^2), что часто помогает восстановить высоту или сторону.
• Параллелограмм: S = a b sin α, P = 2(a + b). Если известны диагонали d1 и d2 и угол между ними φ, можно использовать S = 1/2 d1 d2 sin φ.
• Правильная n-угольная призма (правильный многоугольник в основании): P = n a, где a — сторона; S = (1/2) P r = (1/2) n a r, где r — апофема основания. Для правильного шестиугольника r = a * sqrt(3) / 2, для правильного треугольника r = a * sqrt(3) / 6.
• Косвенные данные: если задана диагональ основания d_осн и одна сторона, воспользуйтесь теоремой Пифагора внутри основания, чтобы найти недостающие стороны и дальше площадь и периметр. В пространстве же диагональ всей призмы, соединяющая не соседние вершины, подчиняется формуле d^2 = d_осн^2 + h^2, откуда h = sqrt(d^2 − d_осн^2).

Для закрепления введем дополнительные соотношения, помогающие решать «нестандартные» задачи. В прямой призме диагональ боковой грани, лежащей на стороне основания e, равна sqrt(e^2 + h^2). Это позволяет восстановить высоту по известной диагонали прямоугольника боковой грани. Если известна развертка боковой поверхности — длинный прямоугольник с длиной P_осн и шириной h — по ее размерам можно мгновенно найти S_бок и высоту. Наконец, если даны площадь полной поверхности и площадь основания, можно найти периметр основания: P_осн = (S_полн − 2 S_осн) / h.

Перейдем к подробным примерам расчетов, сопровождая каждый шаг пояснениями и проверками единиц измерения — это важная часть аккуратного решения в 11 классе.

Пример 1. Треугольная прямая призма. Основание — прямоугольный треугольник со сторонами 5, 12, 13. Высота призмы h = 10. Найти объем, боковую и полную площади поверхности.

1. Площадь основания: треугольник прямоугольный, значит S_осн = 1/2 * 5 * 12 = 30.
2. Периметр основания: P_осн = 5 + 12 + 13 = 30.
3. Объем: V = S_осн * h = 30 * 10 = 300.
4. Площадь боковой поверхности: S_бок = P_осн * h = 30 * 10 = 300.
5. Площадь полной поверхности: S_полн = S_бок + 2 S_осн = 300 + 2 * 30 = 360.

Комментарий: здесь удобна форма треугольника (5, 12, 13) — классическая пифагорова тройка, позволяющая быстро находить площадь. Обратите внимание, что объем и боковая площадь совпали по числу — это случайность конкретных данных (P_осн = S_осн).

Пример 2. Правильная шестиугольная прямая призма. Дана сторона основания a = 4, высота h = 9. Найти объем, боковую и полную площади.

1. Периметр основания: P_осн = 6 a = 24.
2. Апофема правильного шестиугольника: r = a * sqrt(3) / 2 ≈ 4 * 1.732 / 2 ≈ 3.464.
3. Площадь основания: S_осн = (1/2) P_осн r ≈ 0.5 * 24 * 3.464 ≈ 41.568.
4. Объем: V = S_осн * h ≈ 41.568 * 9 ≈ 374.112.
5. Площадь боковой поверхности: S_бок = P_осн * h = 24 * 9 = 216.
6. Площадь полной поверхности: S_полн = 216 + 2 * 41.568 ≈ 216 + 83.136 ≈ 299.136.

Комментарий: формула S = (1/2) P r чрезвычайно удобна для правильных многоугольников. Ее легко запомнить как «полупериметр на апофему». В задачах ЕГЭ и олимпиадного формата часто просят выразить результат в виде с корнем; округление оставляйте на последний шаг и указывайте, до каких долей вы округляете.

Пример 3. Прямоугольный параллелепипед как частный случай прямой призмы. Пусть основание — прямоугольник со сторонами a = 6 и b = 8. Известно, что пространственная диагональ всей призмы d = 14. Найти высоту, объем и площадь полной поверхности.

1. Диагональ основания: d_осн = sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(36 + 64) = sqrt(100) = 10.
2. Высота: h = sqrt(d^2 − d_осн^2) = sqrt(14^2 − 10^2) = sqrt(196 − 100) = sqrt(96) = 4 sqrt(6).
3. Площадь основания: S_осн = a b = 6 * 8 = 48.
4. Периметр основания: P_осн = 2(a + b) = 2(6 + 8) = 28.
5. Объем: V = S_осн * h = 48 * 4 sqrt(6) = 192 sqrt(6).
6. Площадь боковой поверхности: S_бок = P_осн * h = 28 * 4 sqrt(6) = 112 sqrt(6).
7. Площадь полной поверхности: S_полн = S_бок + 2 S_осн = 112 sqrt(6) + 96.

Комментарий: прием «через диагонали» очень полезен, когда часть размеров не дана напрямую. Схема d^2 = d_осн^2 + h^2 работает для любой прямой призмы: сначала находите диагональ основания, затем восстанавливаете высоту.

Типичные ошибки при вычислении объема и площади поверхности прямой призмы легко предугадать и предотвратить. Обратите внимание на следующие моменты:

• Не путайте высоту призмы и сторону основания. Высота — это перпендикуляр между плоскостями оснований, в прямой призме равный длине бокового ребра.
• В формуле S_бок = P_осн * h обязательна роль периметра основания, а не площади. Путая S_осн и P_осн, вы получите ответ на порядки неверный.
• Если в тексте задачи упоминается «наклонная призма», то высота — не боковое ребро. Но в нашей теме речь именно о прямой призме. Для сравнения: у наклонной призмы V = S_осн * h тоже верно, но h — длина перпендикуляра между основаниями, а не ребра.
• Следите за единицами измерения. При переходе от сантиметров к метрам меняется не только линейная величина, но и размерность площади и объема: 1 м = 100 см, 1 м² = 10 000 см², 1 м³ = 1 000 000 см³. Приводите все величины к единой системе перед вычислениями.
• Различайте «диагональ основания» и «пространственную диагональ призмы». Для восстановления размеров используйте соответствующую формулу, не смешивая обозначения.

Часто встречаются задачи на восстановление недостающих параметров по данным о развертке или о доле задействованной поверхности. Например, если известно, что S_полн и S_бок даны, то S_осн = (S_полн − S_бок) / 2. Или, если известно отношение S_бок к S_полн, можно вывести отношение P_осн к S_осн и дальше — конкретные размеры для правильного многоугольника. В задачах на оптимизацию (минимизировать площадь материала при заданном объеме) удобна связка: S_полн = P_осн h + 2 S_осн и V = S_осн h, откуда h = V / S_осн. Подставляя h, получаем S_полн = P_осн (V / S_осн) + 2 S_осн — функция от параметров основания, с которой уже можно работать аналитически.

Иногда в задачах фигурируют сечения. Сечение плоскостью, параллельной основаниям, дает фигуру, равную основанию по форме и площади. Это значит, что каждая «горизонтальная» пластина прямой призмы равна базовой, а интегральный подход оправдывает формулу объема V = S_осн * h. Сечение диагональной плоскостью может образовать прямоугольник или параллелограмм — их площадь удобно вычислять как произведение сторон и синуса угла между ними, а высоту восстанавливать через диагонали.

Сформулируем компактный алгоритм решения типовой задачи на объем и площадь прямой призмы:

1. Определите тип основания (треугольник, прямоугольник, параллелограмм, правильный n-угольник). Запишите известные параметры: стороны, углы, диагонали, апофему, периметр.
2. Найдите площадь основания S_осн подходящей формулой (Герона, через синус угла, через apofemu и периметр и т. п.).
3. Найдите периметр основания P_осн, он потребуется для площади боковой поверхности.
4. Убедитесь, что высота h известна. Если неизвестна, восстановите ее по диагоналям: h = sqrt(d^2 − d_осн^2), или по диагонали боковой грани: h = sqrt(d_бок^2 − e^2), где e — соответствующая сторона основания.
5. Вычислите объем: V = S_осн * h.
6. Вычислите площадь боковой поверхности: S_бок = P_осн * h.
7. Вычислите площадь полной поверхности: S_полн = S_бок + 2 S_осн.
8. Сделайте проверку размерностей и, при необходимости, округлите результат с указанием точности.

Для расширения кругозора полезно видеть связи прямой призмы с другими фигурами. Прямоугольный параллелепипед — прямейший частный случай. Цилиндр можно рассматривать как предельный случай призмы с бесконечным числом сторон основания; формулы для цилиндра V = S_осн * h и S_бок = P_осн * h срабатывают по той же логике, где P_осн — длина окружности, S_осн — площадь круга. В реальных задачах проектирования (упаковка, резервуары, строительные блоки) оценка материала (площадь поверхности) и вместимости (объем) почти всегда сводится к этим базовым геометрическим соотношениям.

Подчеркнем ключевые идеи, которые стоит запомнить. Для прямой призмы: объем всегда равен S_осн * h, высота совпадает с боковым ребром, боковая поверхность разворачивается в прямоугольник со сторонами P_осн и h, а значит S_бок = P_осн * h. Полная поверхность — сумма боковой и двух оснований: S_полн = S_бок + 2 S_осн. Почти все прикладные задачи сводятся к умению быстро и без ошибок находить S_осн, P_осн и h из исходных данных. Если в условии появляются диагонали — вспоминайте d^2 = d_осн^2 + h^2. Если работают с правильными многоугольниками — используйте S = (1/2) P r и связи между стороной и апофемой. С этими приемами вы уверенно решите как базовые, так и продвинутые задачи на объем и площадь прямой призмы.