Начнём с чётких определений. Трапеция — это выпуклый четырехугольник, у которого по крайней мере одна пара противоположных сторон параллельна; эти стороны называют основаниями, а две другие — боковыми сторонами или боками. В российской школьной традиции выделяют особенно важный класс — равнобедренная трапеция, у которой боковые стороны равны. Окружность — множество точек на плоскости, находящихся на фиксированном расстоянии от данной точки (центра). Взаимодействие трапеций и окружностей даёт богатую теорию: трапеция может быть вписанной в окружность (описана окружность) или может иметь вписанную окружность (описана вокруг неё окружность — несколько противоположно звучащих терминов, так что уточняем: «вписанная окружность» — касается всех сторон; «описанная окружность» — проходит через все вершины).

Рассмотрим основные формулы и свойства трапеции. Пусть основания равны a и c, боковые стороны — b и d, высота — h. Тогда площадь трапеции вычисляется по формуле S = (a + c)/2 * h. Средняя линия (медиана) трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон; её длина m = (a + c)/2. Если трапеция равнобедренная (b = d), то её высоту можно выразить через боковую сторону и полусумму разности оснований: h = sqrt(b^2 - ((a - c)/2)^2). В равнобедренной трапеции диагонали равны; также углы при каждом основании попарно равны (углы при одном основании равны друг другу), что важно для связи с окружностью.

Условие, при котором трапеция имеет описанную окружность (т.е. через все четыре вершины проходит одна окружность), элементарно: трапеция является описанной тогда и только тогда, когда она равнобедренная. Докажем это наглядно. Пусть ABCD — трапеция с основаниями AB || CD. Если трапеция описана (циклическая), то в ней сумма противоположных углов равна 180°: ∠A + ∠C = 180°. Но для трапеции из-за параллельности AB || CD имеем ∠A + ∠B = 180°. Сравнивая равенства, получаем ∠B = ∠C, а значит ∠A = ∠B и ∠C = ∠D, то есть углы при основаниях равны попарно — трапеция равнобедренная. Обратное также верно: в равнобедренной трапеции ∠A = ∠B, а так как ∠B + ∠C = 180° (внутренние накрест лежащие при боковой), следует ∠A + ∠C = 180°, значит трапеция циклическая. Следствие: для равнобедренной трапеции существуют и вписанная, и описанная окружности одновременно только при дополнительном условии (см. ниже).

Условие существования вписанной окружности (касательной ко всем сторонам) для произвольного четырёхугольника — классическое: суммы длин противоположных сторон должны быть равны. Для трапеции ABCD с основаниями a = AB, c = CD и боками b = BC, d = DA условие вписанности окружности принимает вид a + c = b + d. Это можно легко вывести из равенства сумм касательных от точки до точки касания. В частности, если трапеция равнобедренная (b = d), то условие превращается в a + c = 2b, т.е. боковая сторона должна равняться средней линии. Для таких трапеций радиус вписанной окружности можно вычислить простой формулой r = S / p, где S — площадь, p — полупериметр: p = (a + b + c + d)/2. Для трапеции S = (a + c)/2 * h, поэтому r = ((a + c)h) / (2p). Это полезно для практических вычислений.

Важно знать несколько ключевых полезных свойств и теорем, которые связаны с окружностями и трапециями. Перечислим основные из них:

• Теорема Птолемея для вписанного четырёхугольника: произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон: AC·BD = AB·CD + BC·AD. Для равнобедренной трапеции это даёт удобную формулу для диагоналей.
• В равнобедренной трапеции диагонали равны и пересекаются так, что отрезки, на которые делятся диагонали, связаны с основаниями пропорцией: если точки пересечения диагоналей с делят диагонали, то части делятся в отношении оснований.
• Центр описанной окружности (если она существует) лежит на перпендикуляре к основаниям и на оси симметрии равнобедренной трапеции; центр вписанной окружности (если она есть) — точка пересечения биссектрис углов трапеции.

Разберём практический пример и подробно пропишем шаги решения. Пусть дана равнобедренная трапеция с основаниями a = 10 и c = 6 и боковыми сторонами b = d = 5. Требуется найти высоту h, площадь S, длину диагонали и радиус описанной окружности R. Решение по шагам:

1. Определяем полусумму разности оснований: (a - c)/2 = (10 - 6)/2 = 2.
2. Высота по формуле h = sqrt(b^2 - ((a - c)/2)^2) = sqrt(25 - 4) = sqrt(21) ≈ 4.583. Обоснуем: опуская перпендикуляр из верхнего основания к нижнему, получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой b и горизонтальным катетом (a-c)/2.
3. Площадь: S = (a + c)/2 * h = 8 * sqrt(21) ≈ 36.661.
4. Координатный подход для диагонали: поместим вершины A(0,0), B(10,0), D(2,h), C(8,h) (смещение каждого конца верхнего основания относительно нижнего на 2). Тогда диагональ AC = sqrt((8-0)^2 + h^2) = sqrt(64 + 21) = sqrt(85) ≈ 9.220. Диагонали равны по симметрии.
5. Чтобы найти радиус описанной окружности R (поскольку трапеция равнобедренная, она циклическая), возьмём треугольник ABC: его стороны AB = 10, BC = 5, AC = sqrt85, площадь S_ABC = 1/2 * AB * h = 5 * sqrt21 ≈ 22.913. Радиус описанной окружности для треугольника ABC равен R = (AB·BC·AC) / (4·S_ABC) = (10·5·sqrt85)/(4·5·sqrt21) = (10·sqrt85)/(4·sqrt21) ≈ 5.03. Это и будет радиус окружности, описанной около всей трапеции (вписана в неё).

Каждый шаг даёт логическое обоснование и позволяет без ошибок просчитать требуемые параметры.

Ещё один практический пример с вписанной окружностью. Пусть трапеция с основаниями a = 12 и c = 8 такова, что в неё можно вписать окружность. Тогда по условию a + c = b + d, и если трапеция симметрична (равнобедренная), то b = d = (a + c)/2 = 10. Найдём высоту, площадь и радиус вписанной окружности:

1. Полусумма разности оснований: (12 - 8)/2 = 2.
2. Высота: h = sqrt(10^2 - 2^2) = sqrt(100 - 4) = sqrt(96) = 4·sqrt6 ≈ 9.798.
3. Площадь: S = (12 + 8)/2 * h = 10 * 4·sqrt6 ≈ 97.98.
4. Полупериметр p = (12 + 8 + 10 + 10)/2 = 20. Следовательно радиус вписанной окружности r = S / p ≈ 97.98 / 20 ≈ 4.899. Этот результат совпадает с прямым вычислением r = ((a + c)h)/(2p) и логически согласован с геометрией.

Таким образом, методика расчёта тривиальна: сначала геометрическая разбивка на прямоугольные треугольники для высоты, затем формулы площади и радиуса.

Наконец, приведём практические советы и замечания для экзаменов и задач:

• При виде слов «описанная окружность» для трапеции первым делом проверьте, равнобедренна ли она (или равенство углов у оснований). Это часто даёт быстрый вывод о возможности описания.
• Если требуется найти радиус вписанной окружности, используйте формулу r = S / p — она универсальна для любого вписанного четырёхугольника (включая трапецию) и позволяет избежать длинных вычислений с биссектрисами.
• Для вычисления диагоналей и высоты удобно применять координатный метод: поместите одно основание на ось OX, другое — параллельно на высоте h; это упрощает вычисления расстояний и углов.
• Не забывайте о теореме Птолемея и её приложениях к циклическим трапециям: она часто помогает найти длины диагоналей или проверить правильность полученных значений.

Эти приёмы помогают быстро и надёжно решать задачи школьного и экзаменационного уровня.