В геометрии треугольника важнейшими понятиями являются вписанная окружность и описанная окружность. Понимание их свойств и взаимосвязей позволяет решать широкий спектр задач: строить треугольники по заданным данным, вычислять площади и радиусы, исследовать центры треугольника и их расположение. Начнём с интуитивных определений и перейдём к строгим утверждениям, конструкциям и формулам, сопровождая материал примерами и доказательствами.

Определения и основные свойства. Описанная окружность треугольника — единственная окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Её центр называется центром описанной окружности (O), радиус — радиус описанной окружности (R). Вписанная окружность — это окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника. Её центр называется центром вписанной окружности (I), радиус — радиус вписанной окружности (r). Важное свойство: центр описанной окружности — это точка пересечения перпендикуляров к сторонам (перпендикуляров к хордaм), иначе — пересечение серединных перпендикуляров к сторонам; центр вписанной окружности — это пересечение биссектрис углов треугольника. Эти утверждения вытекают из свойств равенства расстояний точек до вершин и до сторон.

Почему биссектрисы пересекаются в одной точке? Пусть в треугольнике ABC проведём биссектрисы двух углов: из A и из B. Каждая биссектриса состоит из точек, равноудалённых от сторон угла. Точки пересечения двух биссектрис равноудалены от всех трёх сторон, значит, ими является центр окружности, касающейся всех сторон. Данная точка лежит внутри любого невырожденного треугольника: поэтому вписанная окружность существует и единственна. Аналогично, пересечение серединных перпендикуляров к двум сторонам равноудалено от вершин этих сторон; точка пересечения равноудалена от всех трёх вершин — центр описанной окружности. Если треугольник остроугольный, O лежит внутри; для прямого треугольника O совпадает с серединой гипотенузы; для тупого O лежит вне треугольника.

Формулы для радиусов и связь с площадью. Обозначим стороны треугольника через a = BC, b = CA, c = AB, полупериметр p = (a+b+c)/2, площадь S. Тогда фундаментальные формулы:

• Площадь через вписанную окружность: S = p * r. Доказательство: площадь трёх треугольников AIB, BIC, CIA равна (1/2)*side* r; сложив, получаем S = r*(a+b+c)/2 = p r.
• Площадь через описанную окружность: S = a b c / (4 R). Это получается из формулы синусов a = 2 R sin A и аналогично для b,c, подставляя в формулу S = (1/2) a b sin C = (1/2)*(2R sin A)*(2R sin B)*sin C и используя тригонометрическое тождество sin A sin B sin C.
• Отсюда легко выразить радиусы: радиус вписанной окружности r = S / p; радиус описанной окружности R = a b c / (4 S).

Пример вычисления радиусов. Рассмотрим треугольник со сторонами 13, 14, 15. Найдём r и R. Сначала полупериметр p = (13+14+15)/2 = 21. Площадь по формуле Герона S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)) = sqrt(21*8*7*6) = sqrt(7056) = 84. Тогда r = S / p = 84 / 21 = 4. Радиус описанной окружности R = a b c / (4 S) = 13*14*15 / (4*84) = 2730 / 336 = 455/56 ≈ 8.125. Это наглядный пример применения формул и проверки вычислений: все величины выражены через простые арифметические операции и корень.

Конструкции с циркулем и линейкой. Построение центра описанной окружности: достаточно провести серединные перпендикуляры к двум сторонам (например, к AB и BC); их пересечение — точка O, центр описанной окружности, затем радиус равен расстоянию от O до любой вершины. Построение центра вписанной окружности: проводим биссектрисы двух углов (обычно углов A и B); их пересечение — точка I. Проведя перпендикуляр из I на любую сторону, получим радиус r и точку касания. Для нахождения точек касания: опустив перпендикуляр из I к стороне BC, получим точку касания с BC; аналогично для других сторон. Эти конструкции строгие и выполняются обычными инструментами: циркулем и линейкой.

Разрезы площади и длины касательных от вершин. Когда вписанная окружность касается сторон треугольника в точках, касания разбивают стороны на отрезки, концы которых приписаны вершинами треугольника. Из равенства касательных от одной точки к окружности следует, что отрезки, примыкающие к одной вершине, равны: например, если касательные точки на сторонах AB и AC обозначить через X и Y, то AX на обеих сторонах одинаковы. Это приводит к выражению длин: от вершины A до точек касания равно p - a, от вершины B равно p - b и т. д. Следствие: если нужно найти длину отрезка от вершины до точки касания, достаточно знать полупериметр и соответствующую сторону. Эти соотношения часто применяются в задачах на построение и вычисление периметров частей треугольника.

Связь между центрами: формула Эйлера и геометрические следствия. Один из красивых и полезных результатов — формула Эйлера, связывающая расстояние между центром описанной окружности O и центром вписанной окружности I: OI^2 = R (R - 2 r). Отсюда видно важный неравенственный вывод: R ≥ 2 r, причём равенство достигается только для равностороннего треугольника. Короткая идея доказательства: рассмотреть радиусы, провести касательные и воспользоваться свойствами вписанной/описанной окружностей и их взаимного расположения; детальное доказательство можно построить через обращение к свойствам центральных и вписанных углов и векторов, либо через радиальные мощности точки I относительно описанной окружности. Формула помогает оценивать, насколько близки центры друг к другу, и иногда используется в неочевидных задачах на оптимизацию.

Особые случаи и дополнительные понятия. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности O — это середина гипотенузы, поэтому R = c/2, где c — гипотенуза. Радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике равен r = (a + b - c) / 2, где a, b — катеты. Для равностороннего треугольника r = R / 2 и отношение R : r = 2 : 1. Кроме того, существуют вневписанные окружности (внешние или эксцентры): каждая из трёх таких окружностей касается продолжений двух сторон и одной стороны внутри; центры — пересечения одной внутренней и двух внешних биссектрис. Радиус соответствующей вневписанной окружности r_a = S / (p - a) и т.д. Эти понятия часто используются при решении задач на касательные и симметрии.

Практические рекомендации при решении задач. При решении задач сначала определите, что требуется найти: центр, радиус, точку касания, или расстояние между центрами. Проверьте, какие данные заданы: стороны, углы, площадь, периметр. Часто полезно применять две ключевые формулы S = p r и S = a b c / (4 R). Если в условии фигурируют углы, пригодится формула a = 2 R sin A (и аналогично для b, c). Для задач с касательными и отрезками на сторонах используйте равенство касательных от одной точки и выражения p - a, p - b, p - c. Если требуется расположение центров, не забывайте о классификации по остроте треугольника: O внутри при всех углах < 90°, на гипотенузе при одном угле = 90°, вне при угле > 90°.

Краткая память по теме (ключевые слова и формулы). Вписанная окружность — пересечение биссектрис, S = p r, r = S / p. Описанная окружность — пересечение серединных перпендикуляров, S = a b c / (4 R), R = a b c / (4 S); a = 2 R sin A. Формула Эйлера: OI^2 = R (R - 2 r). Для прямоугольного треугольника R = c/2, r = (a + b - c)/2. Такие «карманные» формулы экономят время и упрощают решение задач на экзаменах и контрольных.