Катет прямоугольного треугольника

В геометрии прямоугольный треугольник — это треугольник, один из углов которого равен 90°. Прямоугольные треугольники имеют особое значение в геометрии и широко используются в различных областях науки и техники.

Определение катетаКатетами называются стороны прямоугольного треугольника, которые образуют прямой угол. В прямоугольном треугольнике всегда два катета. Катеты могут быть равными или неравными по длине.

На рисунке ниже катеты обозначены буквами a и b:

Рисунок 1. Прямоугольный треугольник ABC с катетами a и b.

Для обозначения сторон треугольника используются строчные буквы латинского алфавита. Углы треугольника обозначаются заглавными буквами греческого алфавита. Прямой угол обозначается буквой C (от английского слова «corner» — угол).

Свойства катетов

1. Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$. Это свойство является теоремой Пифагора и играет важную роль в решении задач на прямоугольные треугольники.
2. Длина катета не может превышать длину гипотенузы. Если длина катета больше длины гипотенузы, то треугольник не будет прямоугольным.
3. Длины катетов не могут быть отрицательными.
4. Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы (если угол, лежащий против этого катета, равен 30°).
5. Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.
6. Медиана, опущенная на гипотенузу, равна половине гипотенузы.
7. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равняется половине разности между суммой катетов и гипотенузой.
8. Центр окружности, которая касается всех трёх сторон треугольника, лежит в середине гипотенузы, а радиус окружности равен половине длины гипотенузы.

Эти свойства помогают решать задачи на нахождение неизвестных элементов прямоугольного треугольника.

Примеры задачЗадача 1: В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 6 см, BC = 8 см. Найти длину гипотенузы AB.Решение:По теореме Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2$$AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$AB = \sqrt{100} = 10$ смОтвет: длина гипотенузы равна 10 см.

Задача 2: В прямоугольном треугольнике ABC известно, что $\angle C = 90^{\circ}$, $AC = 4\sqrt{3}$ см и $BC = 7$ см. Требуется найти длину катета $AB$.Решение:Воспользуемся теоремой Пифагора. Подставим известные значения:$(4\sqrt{3})^2+7^2=AB^2$$16\cdot3+49=AB^2$$95=AB^2$Извлечём квадратный корень из обеих частей равенства:$\sqrt{95}=AB$Длина катета равна примерно 9,74 см.Ответ: катет $AB$ равен примерно 9,74 см.

Таким образом, катет — важная часть прямоугольного треугольника. Знание свойств катетов помогает решать различные геометрические задачи.